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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Folgerungen Körperaxiome (-x)^(-1)=-(x^(-1))
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Universität/Hochschule J Folgerungen Körperaxiome (-x)^(-1)=-(x^(-1))
GueneDog
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  Themenstart: 2021-07-03

Sei \(\mathbb{K}\) ein angeordneter Körper und \(x \in \mathbb{K}\backslash\{0\}\) Zu zeigen ist: \((-x)^{-1}=-(x^{-1})\) Ich habe den Beweis folgendermaßen durchgeführt: \(-x*-(x^{-1})=-(-x*x^{-1})=x*x^{-1}=1\). Somit ist \(-(x^{-1})\) ebenso ein Inverse von \(-x\). Allerdings wurde die Rechenregel \(x*(-y)=-xy\) im Skriptum erst eine Zeile später bewiesen. Gibt es einen anderen Weg die obige Rechenregel zu zeigen? Danke im Voraus :)


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Walross
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-04

Hallo GueneDog, solange die zu zeigende Aussage für den Beweis der Aussage danach nicht verwendet wurde, ist das ja kein Problem. Ein alternativer Beweis könnte bspw. lauten: Es sei $\mathbb{K}$ ein beliebiger Körper. Es sei $x\in\mathbb{K}\backslash\{0\}$. Dann gilt: $(-x)^{-1}=((-1)\cdot x)^{-1}=x^{-1}\cdot(-1)^{-1}=x^{-1}\cdot(-1)=-x^{-1}$ Mach dir klar, warum die einzelnen Schritte gelten, bzw. beweise sie mithilfe der Körperaxiome und der Aussagen, die du schon zur Verfügung hast. Gruß Walross


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GueneDog
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-04

Hallo Walross, danke dir für deine Antwort. Ich habe mir auch deinen Beweis uberlegt wollte aber mit weniger Voraussetzungen auskommen, nämlich mit den neun Körperaxiomen (inkl Distributivgesetz) und folgenden Rechenregeln: \( i) -(-x)= x \quad\forall x\in \mathbb{K}\) und \((x^{-1})^{-1}=x\) für \(x\in \mathbb{K}\backslash\{0\}\) \( ii) -(x+y)=(-x)+(-y)\) für \(x,y \in \mathbb{K}\) \( iii) x\cdot 0 = 0\), aus \(x,y \neq 0\) folgt \((xy)^{-1}=x^{-1}*y^{-1}\) Nur mit den obigen Voraussetzungen habe ich es nicht geschafft


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tactac
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-07-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\) Die "Rechenregel" $x \cdot (-y) = -(x \cdot y)$ ist doch 'was ganz grundlegendes und beweist sich beinahe aus Versehen: $x \cdot (-y) = x \cdot (-y) + x\cdot y - x \cdot y = x \cdot (-y+y) - x\cdot y = x \cdot 0 - x \cdot y = 0 - x \cdot y = -(x\cdot y)$. Was es bedeuten soll, diese nicht zu verwenden, aber die Körperaxiome schon, erschließt sich mir nicht so recht. Im Zweifel kannst du statt "$x \cdot (-y) = -(x \cdot y)$" auch die angegebene Gleichungskette schreiben. \(\endgroup\)


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Triceratops
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-07-05

Vielleicht hier auch noch eine etwas konzeptionellere Herangehensweise an die Ringaxiome (die in den Körperaxiomen enthalten sind, und um mehr geht es hier eigentlich nicht, denn die Gleichung $(-x)^{-1} = -x^{-1}$ gilt in jedem Ring, wenn $x$ invertierbar ist): https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1732 Die Rechenregel $x(-y)=-xy$ ist dort Teil der Definition eines Ringes. Dass diese Rechenregel aus dem Rest folgt, folgt dort aus einem bekannten Lemma aus der Gruppentheorie, nämlich der Charakterisierung von Homomorphismen von Gruppen als jene Abbildungen, welche die Verknüpfung erhalten: dann werden automatisch auch das neutrale Element und die Inversion erhalten. Aus $x(y+z)=xy+xz$ folgt daher ohne weitere Rechnung $x(-y)=-xy$.


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GueneDog
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-07

Vielen Dank euch allen, ich wollte mir nochmals sicher sein bezuglich meiner Vorgehensweise. :)


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