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 Auswertungsabbildung für Polynome |
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Nahu_bay
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 |  Themenstart: 2021-07-11
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Hallo an alle. Ein Freund von mir hat mir diese Aufgabe geschickt und es ist interessant aber auch schwer. Leider die Ideen... sind wenig
Wer könnte mir helfen? Dankeschön
1) Sei \IR_n gauss(x)der Vektorraum der Polynome von Grad <= n , und n>=1
\forall\ \alpha\el\ \IR , sei die Teilmenge V_\alpha = menge(p\el\ \IR_n gauss(x)|P(\alpha)=0)
a) Beweisen Sie: V_\alpha ist ein Unterraum von \IR_n gauss(x),\forall\ \alpha\el\ \IR und dass 0\subset\ V_\alpha\subset\ \IR_n gauss(x)
b)Sei nun die lineare Abbildung, definiert durch T_\alpha : \IR_n gauss(x)-> \IR wobei; T(p)= p(\alpha)
i) Beweisen Sie, dass T eine lineare Abbildung ist
ii) Ist T injektiv?
iii) Ist T surjektiv?
c)Finden sie : dim( V_\alpha)
d) Beweisen Sie dass falls \alpha ungleich \beta , man hat : V_\alpha + V_\beta = \IR_n gauss(x). Ist das eine direkte Summe?
Ich würde sagen, dass d) keine direkte Summe ist.
Danke an alle!
Ich würde sagen dass d, keine direkte summe ist
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ochen
Senior 
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3806
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-11
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Hallo,
woran scheitert es?
Bei der a) musst du die Unterraumkriterien nachrechnen.
Bei der b) musst du die beiden Kriterien für eine lineare Abbildung nachrechnen.
ii) Kannst du ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom angeben, welches seine Nullstelle bei $\alpha$ hat?
iii) Welche Dimension hat $\mathbb R$ als $\mathbb R$-Vektorraum? Finde ein Polynom $p$ mit $p(\alpha)\neq 0$.
Du musst bei ii) oder iii) nutzen, dass $n\geq 1$ ist.
Bei der c) nutze, dass $V_\alpha$ der Kern von $T_\alpha$ ist.
Für die direkte Summe:
Gib bei der d) ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom an, das sowohl $\alpha$ als auch $\beta$ als Nullstellen hat. Alternativ kannst du auch mit den Dimensionen argumentieren. Die Antwort, ob es sich um eine direkte Summe handelt, hängt von deinem $n$ ab.
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Nahu_bay
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-11
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Vielen dank!
teil a)
Um zu zeigen dass V_\alpha ein Unterraum ist habe ich das gemacht:
Seien \lambda , \mue \el\ \IR und p(x), q(x) \el\ \IR_n gauss(x) dann
(\lambda . p + \mue . q )(x) = \lambda . p(\alpha) + \gamma q(\gamma) = 0
ich glaube, das hat geklappt
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ochen
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-07-11
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Ja, ich vermute schon. Es ist etwas mit dem $\alpha$, $\gamma$, $x$ und $\mu$ vertauscht worden. Auf der linken Seite taucht kein $\alpha$ auf und auf der rechten Seite kein $\mu$. Woher kommen die $\gamma$s auf der rechten Seite. Wahrscheinlich meinst du aber das richtige :)
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Nahu_bay
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-11
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\quoteon(2021-07-11 19:32 - ochen in Beitrag No. 3)
Ja, ich vermute schon. Es ist etwas mit dem $\alpha$, $\gamma$, $x$ und $\mu$ vertauscht worden. Auf der linken Seite taucht kein $\alpha$ auf und auf der rechten Seite kein $\mu$. Woher kommen die $\gamma$s auf der rechten Seite. Wahrscheinlich meinst du aber das richtige :)
\quoteoff
aja ja schon. Ich habe auch was falsch geschrieben ..
Da sollte ich schreiben (\lambda.p + \mue.q)(\alpha) also x, war total falsch.
Aber, was meinst du genau damit?
b)
nach Definition; zu zeigen
T(\lambda_1 p + \lambda_2 q) = \lambda_1 T(p) + \lambda_2 T(q)
Linke seite: \lambda_1 p(\alpha) + \lambda_2 q(\alpha)
Rechte seite: \lambda_1 p(\alpha) + \lambda_2 q(\alpha)
Wobei \lambda_n \el\ \IR und p,q \el\ \IR_n gauss(x)
Schon richtig oder?
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Nahu_bay
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-11
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Ich habe auch verstanden, ob T injektiv ist oder nicht :)
Sei zum Beispiel: n=2 dann Ich definiere (als Beispiel) die folgende lineare Abbbildung T: \IR_2 gauss(x) -> \IR
Dann eine beliebige Basis von \IR_2 gauss(x) hat 3 Elemente, dann dim \IR_2 gauss(x) = 3. \IR hat nur ein Element dann dim\IR= 1
Wir wissen, dass eine lineare Abbildung injektiv ist, nur genau dann kern T = 0 und damit dim Kern (T) muss 0 sein.
Aber nun dimV = dim Kern (T) + Dim bild (T)
3 = dim Kern (T) + 1
2 = dim Kernt (T) dann T ist nicht injektiv
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ochen
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| Beitrag No.6, eingetragen 2021-07-11
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Ok, das ist doch schon mal etwas :) $T_\alpha$ ist nicht injektiv für $n\geq 1$. An welcher Stelle hast du $n\geq 1$ benutzt?
Und ist $T_\alpha$ nun surjektiv oder nicht? Worauf werden Polynome vom Grad Null abgebildet?
Mit deiner Argumentation mit dem Dimensionssatz hast du für die c) auch herausgefunden, welche Dimension $V_\alpha$ mindestens haben muss.
Ist das eigentlich eine Hausaufgabe? Wieso stellt dein Freund nicht selbst die Frage?
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