Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Eigenwerte » Jordannormalform Transformationsmatrix
Autor
Universität/Hochschule J Jordannormalform Transformationsmatrix
skavion
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 03.07.2021
Mitteilungen: 15
  Themenstart: 2021-07-22

Ich soll die Jordannormalform folgender Matrix A mit Hilfe der Transformationsmatrix berechnen: 1 5 0 2 0 1 0 0 0 2 1 1 0 -2 0 0 Sie hat die Eigenvektoren 0 (alg. VF 1) und 1 (alg. VF 3). Wenn ich nun ker(A-1), ker((A-1)^2) und ker((A-1)^3) berechne, haben alle kerne dieselben Vektoren inne, bzw die vektoren lassen sich durch die vektoren der anderen kerne erzeugen. Das heißt ich habe keinen Vektor, der nur in einem kern vorhanden ist. Habe ich mich einfach verrechnet oder gibt es einen Weg mit so einem Problem trotzdem ich auf die Transformationsmatrix zu kommen? Meine Vektoren der kerne (A-1)^x sind (1 0 0 0) (2 -1 0 0) (0 0 1 0) (2 0 0 -1)


   Profil
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 8039
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, da die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts 1 in dem Fall hier gleich 2 ist, ist die Berechnung von \(\on{kern}\left((A-I)^3\right)\) unnötig (denn es muss zu diesem Eigenwert dann ja zwei Jordankästchen geben). Außerdem fehlt noch der Eigenvektor zum Eigenwert 0. Bzw. der Vektor \((1,0,0,0)^T\) ist ein Eigenvektor zum EW 0. Hilft dir das schon weiter? Gruß, Diophant \(\endgroup\)


   Profil
skavion
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 03.07.2021
Mitteilungen: 15
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-22

ich bekomme aber als charakteristisches Polynom (λ-1)^3 * λ raus. das ergibt für den EW 1 doch die alg. VF 3 und für den EW die alg. VF 1 oder? Ich benutze für die Transformationsmatrix folgendes verfahren: Für EW 1: Sei v der einzigartige Vektor, d.h. er kommt nur in einem kern ker(A-1)^x vor, wobei x=1,2,3. (A-3)^2*v, (A-3)^1*v, v sind die Spalten der transformationsmatrix für den EW 1. Das selbe führe ich dann für den EW 0 durch und erhalte somit alle Spalten der Transformationsmatrix S, sodass S^-1*A*S = J Jordannormalform. Nun habe ich aber für den EW 1 keinen einzigartigen vektor v, da die kerne ker(A-1)^x alle dieselben vektoren innehaben oder sich ihre vektoren durch vektoren der anderen Kerne erzeugen lassen.


   Profil
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 8039
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.3, eingetragen 2021-07-22

\quoteon(2021-07-22 12:08 - skavion in Beitrag No. 2) ich bekomme aber als charakteristisches Polynom (λ-1)^3 * λ raus. das ergibt für den EW 1 doch die alg. VF 3 und für den EW die alg. VF 1 oder? \quoteoff Es geht hier aber nicht um die algebraische, sondern um die geometrische Vielfachheit. \quoteon(2021-07-22 12:08 - skavion in Beitrag No. 2) Ich benutze für die Transformationsmatrix folgendes verfahren: Für EW 1: Sei v der einzigartige Vektor, d.h. er kommt nur in einem kern ker(A-1)^x vor, wobei x=1,2,3. (A-3)^2*v, (A-3)^1*v, v sind die Spalten der transformationsmatrix für den EW 1. \quoteoff Wo kommt denn da die ominöse 3 in der Klammer her? Und dann ist es so, dass die Spalten der Transformationsmatrix aus Hauptvektoren gebildet werden. Und Hauptvektoren erster Stufe sind nun einmal nichts anderes als Eigenvektoren. Gruß, Diophant


   Profil
skavion
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 03.07.2021
Mitteilungen: 15
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-22

Hallo Diophant, vielen Dank, doch jetzt bin ich nur noch weiter verwirrt. Könntest du mir vielleicht deine Schritt für Schritt Vorgehensweise erläutern, mit der du die Transformationsmatrix herausfindest? Das würde mir sehr weiterhelfen. LG Skavion


   Profil
nzimme10
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 849
Wohnort: Köln
  Beitrag No.5, eingetragen 2021-07-22

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2021-07-22 13:03 - skavion in Beitrag No. 4) Hallo Diophant, vielen Dank, doch jetzt bin ich nur noch weiter verwirrt. Könntest du mir vielleicht deine Schritt für Schritt Vorgehensweise erläutern, mit der du die Transformationsmatrix herausfindest? Das würde mir sehr weiterhelfen. LG Skavion \quoteoff Mir scheint als hättest du die Jordan-Normalform generell noch nicht verstanden; sonst würde sich das Aufstellen solch einer Matrix von alleine erklären. Da das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt haben wir $$ \mathbb R^4=H(0)\oplus H(1) $$ wobei $H$ die Haupträume von der Matrix bezeichne. Nun gilt es von diesen beiden Haupträumen "geschickt" eine Basis aus verallgemeinerten Eigenvektoren (respektive Hauptvektoren) zu konstruieren. Da der Hauptraum $H(0)$ eindimensional ist, genügt es dafür einen Eigenvektor $v_0$ zum EW $0$ zu wählen. Da $H(1)$ dreidimensional ist, aber die geom. VF. des EW's $1$ nur zwei ist, wähle zunächst zwei linear unabhängige Eigenvektoren $v_1,v_2$ zum EW $1$. Dann gilt es noch einen Vektor $v_3\in H(1)\setminus \opn{Eig}(1)$ zu finden, mit $Av_3=v_2+v_3$. ($A$ deine Matrix) Dann ist $B=(v_0,v_1,v_2,v_3)$ solch eine Basis. Warum? Nach Konstruktion gilt nun $$ Av_0=0, \quad Av_1=v_1, \quad Av_2=v_2, \quad Av_3=v_2+v_3. $$ Folglich ist die darstellende Matrix der Abbildung $f_A\colon \mathbb R^4\to\mathbb R^4, \ v\mapsto Av$ bezüglich der Basis $B$ gegeben durch $$ \mathcal M_{B}^B(f_A)=\begin{pmatrix}0&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&1 \\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}, $$ und das ist ja "die" Jordan-Normalform von $A$ (bis auf die Reihenfolge der Blöcke ist das ja eindeutig). "Die" Transformationsmatrix ist dann ja gerade die Basiswechselmatrix in diese Basis. LG Nico\(\endgroup\)


   Profil
skavion
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 03.07.2021
Mitteilungen: 15
  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-22

Alles klar, vielen Dank jetzt habe ich es glaube ich vertsanden!


   Profil
skavion hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]