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Universität/Hochschule Kanonische Zustandssumme
kuckuck3
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  Themenstart: 2021-07-23

Hallo, kann mir bitte wer bei folgender Aufgabe weiterhelfen: Drei nicht wechselwirkende Teilchen können sich jeweils in zwei Energieniveaus \( \epsilon_0 = 0 \) und \( \epsilon_1 = \epsilon \) befinden. Bestimmen Sie die kanonische Zustandssumme für 1) ununterscheidbare Bosonen mit Spin S = 1 2) ununterscheidbare Fermionen mit Spin S = 1/2 3) ununterscheidbare Fermionen mit Spin S = 3/2 Mein Ansatz für die 2): \( Z = 2e^{- \beta \epsilon} + 2e^{-2 \beta \epsilon} \) Meine Gedankengänge hierzu sind auch der folgenden Skizze zu entnehmen: Die Pfeile sollen dabei die Spins -1/2, 0, 1/2 andeuten. Demnach müsste aber die Lösung bei der 3) genauso aussehen oder sehe ich da was falsch? Bei der 1) hab ich leider keinen Ansatz. Wie kann ich die Überlegungen aus den Skizzen nun in die Kombinatorik (Urnenmodell, mit/ohne Zurücklegen, mit/ohne Beachtung der Reihenfolge) übertragen? Bzw. geht das hier überhaupt? Vielen Dank im Voraus und viele Grüße, kuckuck3


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semasch
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-24

Moin kuckuck3, \quoteon(2021-07-23 18:19 - kuckuck3 im Themenstart) Mein Ansatz für die 2): \( Z = 2e^{- \beta \epsilon} + 2e^{-2 \beta \epsilon} \) Meine Gedankengänge hierzu sind auch der Skizze (https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/50650_Bosonen.png) zu entnehmen. Die Pfeile sollen dabei die Spins -1/2, 0, 1/2 andeuten. \quoteoff Das stimmt so. \quoteon(2021-07-23 18:19 - kuckuck3 im Themenstart) Demnach müsste aber die Lösung bei der 3) genauso aussehen oder sehe ich da was falsch? \quoteoff Nicht ganz. \quoteon(2021-07-23 18:19 - kuckuck3 im Themenstart) Wie kann ich die Überlegungen aus den Skizzen nun in die Kombinatorik (Urnenmodell, mit/ohne Zurücklegen, mit/ohne Beachtung der Reihenfolge) übertragen? Bzw. geht das hier überhaupt? \quoteoff Ich würde dir folgendes Vorgehen (für die etwas allgemeinere Situation von $N$ Spin-$S$-Teilchen) empfehlen: Indiziere die Einteilchenzustände gemäß $\lvert n, m_z \rangle$ mit $n = 0, 1$ und $m_z = -S, -S+1, \ldots, S-1, S$, das macht insgesamt $2(2S+1)$ Einteilchenzustände. Dabei haben die $2S+1$ Zustände \[\lvert 0, -S \rangle, \ldots, \lvert 0, S \rangle \tag{1}\] die Energie $0$, die $2S+1$ Zustände \[\lvert 1, -S \rangle, \ldots, \lvert 1, S \rangle \tag{2}\] die Energie $\epsilon$. Du musst nun die $N$ Teilchen unter Beachtung der Teilchenart (Fermionen/Bosonen) auf die möglichen Zustände verteilen. Die möglichen Gesamtenergien, die sich dabei ergeben, rangieren in (abhängig von $S$ und der Teilchenart sind nicht alle Werte möglich, das musst du aber mit der hiesigen Methode nicht explizit berücksichtigen) $\{0, \epsilon, \ldots, N\epsilon\}$. Ein Gesamtzustand mit Energie $E_n = n\epsilon$ mit $n \in \{0, 1, \ldots, N\}$ wird dadurch realisiert, dass $N-n$ Teilchen auf Zustände aus $(1)$ und $n$ Teilchen auf Zustände aus $(2)$ verteilt werden. Um die Anzahl $a_n$ der Zustände mit Gesamtenergie $E_n$ zu bestimmen, kannst du nun z.B. ein Urnenmodell verwenden: Bezeichne $b_{m,k}$ die Anzahl der Möglichkeiten, $k$ Kugeln aus einer Urne mit $m$ Kugeln ohne Beachtung der Reihenfolge ohne/mit Zurücklegen zu ziehen. Überlege, wie sich $a_n$ damit anschreiben lässt. Überlege dir weiters (bzw. schlage nach), wie $b_{m,k}$ dann für Fermionen/Bosonen aussieht. Danach solltest du (unter Beachtung der Definition des verallgemeinerten Binomialkoeffizienten) eine Formel für $Z_{\text{K}}$ austellen können. Diese kannst du dann für die gefragten Fälle auswerten. LG, semasch


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kuckuck3
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-24

Moin semasch, danke erstmal für deine Antwort. Ich hab die Aufgabe mittlerweile gelöst, allerdings auf anderen (leider nicht so allgemeinen Weg) als du und habe folgende Ergebnisse: 1) \( Z = 10 + 18e^{- \beta \epsilon} + 18e^{-2 \beta \epsilon} + 10e^{-3 \beta \epsilon}\) 3) \( Z = 4 + 24e^{- \beta \epsilon} + 24e^{-2 \beta \epsilon} + 4e^{-3 \beta \epsilon}\) Dennoch würde mich die von dir angesprochene allgemeine Lösung interessieren. Leider kann ich demnächst nicht mehr die Zeit aufbringen das auszuknobeln. Es wäre sehr nett, wenn du das allgemeine Ergebnis schreiben könntest. Viele Grüße, kuckuck3


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semasch
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-07-26

Zunächst mal kann ich deine Lösung \quoteon(2021-07-24 21:30 - kuckuck3 in Beitrag No. 2) Ich hab die Aufgabe mittlerweile gelöst, allerdings auf anderen (leider nicht so allgemeinen Weg) als du und habe folgende Ergebnisse: 1) \( Z = 10 + 18e^{- \beta \epsilon} + 18e^{-2 \beta \epsilon} + 10e^{-3 \beta \epsilon}\) 3) \( Z = 4 + 24e^{- \beta \epsilon} + 24e^{-2 \beta \epsilon} + 4e^{-3 \beta \epsilon}\) \quoteoff so bestätigen. Was die allgemeinere Lösung angeht: Es gilt \[Z_{\text{K}} = \sum_{n = 0}^N a_n e^{-\beta E_n}\] mit $a_n = b_{2S+1,n} b_{2S+1,N-n}$. Für Fermionen/Bosonen kann man dann z.B. hier nachschlagen, wie $b_{m,k}$ aussieht. LG, semasch


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kuckuck3
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-26

Ich verstehe noch nicht genau was nun das Produkt \( a_n = b_{2S+1,n} b_{2S+1,N-n} \) zu bedeuten hat. Ich weiß, dass ich bei Fermionen \( \binom{n}{k} \) und bei Bosonen \( \binom{n+k-1}{k} \) brauche. Viele Grüße, kuckuck3


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semasch
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-07-26

\quoteon(2021-07-26 23:12 - kuckuck3 in Beitrag No. 4) Ich weiß, dass ich bei Fermionen \( \binom{n}{k} \) und bei Bosonen \( \binom{n+k-1}{k} \) brauche. \quoteoff Ja, genau. \quoteon(2021-07-26 23:12 - kuckuck3 in Beitrag No. 4) Ich verstehe noch nicht genau was nun das Produkt \( a_n = b_{2S+1,n} b_{2S+1,N-n} \) zu bedeuten hat. \quoteoff Die Zustände mit Energie $E_n$ erhält man dadurch, dass man $n$ Teilchen auf Zustände aus $(2)$ und $N-n$ Teilchen auf Zustände aus $(1)$ verteilt. Für Ersteres gibt es $b_{2S+1,n}$ Möglichkeiten, für Zweiteres $b_{2S+1,N-n}$, insgesamt also $a_n = b_{2S+1,n} b_{2S+1,N-n}$. LG, semasch


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kuckuck3
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-27

Ok dann habe ich das jetzt, vielen Dank für deine Hilfe. Ich hab gestern noch ein neues Thema angefangen. Ich denke, dass ich da mit genau dem arbeiten kann. Allerdings habe ich dann Probleme mit der Entropie. Ich weiß nicht ob du es schon gesehen hast. Viele Grüße, kuckuck3


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