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Lineare Algebra » Eigenwerte » JNF der inversen Matrix
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Universität/Hochschule J JNF der inversen Matrix
Pioch2000
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  Themenstart: 2021-07-24

Sei $A\in Gl(n,\mathbb C)$. Zu zeigen ist: Ist $J$ eine JNF von $A$, so erhält man die JNF von $A^{-1}$ aus $J$, indem man jeden Eintrag von $J$ auf der Hauptdiagonalen durch seinen Kehrwert ersetzt. Bisher habe ich gezeigt, dass alle Eigenwerte $\lambda_1,\dots ,\lambda_n$ von $A$ ungleich 0 sind. Außerdem sind $\frac{1}{\lambda_1},\dots ,\frac{1}{\lambda_n}$ die Eigenwerte von $A^{-1}$ und auf der Diagonalen von $J$ stehen gerade die Eigenwerte von $A$. Wie zeigen ich, dass die JNF von $A^{-1}$ besagte Form hat?


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Student10023
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-24

Ich glaube es geht einfacher. Deine Annahme ist, dass J die (warum schreibst du eine?) Jordan-Normalform von A ist. Nach Definition heißt dass, dass es eine invertierbare Matrix T gibt, sodass gilt: J = T^-1 * A * T . Deine Aufgabe (bzw. Zu zeigen) ist es eine invertierbare Matrix S zu finden sodass S^-1 * A^-1 * S = Die Diagonal Matrix, sodass auf der Diagonalen 1/l (dafür muss man natürlich ausschließen dass die Matrix Eigenwerte hat die 0 sind) steht statt l (ich hoffe es ist klar was ich meine). Stell die erste Gleichung nach A um und betrachte dann A^-1. Hilft das ?


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Wally
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-07-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Eine Jordannormalform ist richtig, weil die Matrix \( A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2 \end{pmatrix}\) auch die JNF \( \begin{pmatrix} 2&0\\0&1\end{pmatrix}\) hat. Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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Pioch2000
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-25

Löse ich die erste Gleichung nach $A$ auf, erhalte ich $A=TJT^{-1}$ und damit $A^{-1}=TJ^{-1}T^{-1}$ oder nach $J^{-1}$ umgestellt $J^{-1}=T^{-1}A^{-1}T$ Wie hilft mir das jetzt weiter?


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Nuramon
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-07-25

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Hallo, ich sehe nicht, wie diese Überlegung weiterhelfen soll. Versuche stattdessen die Aussage für jedes Jordankästchen zu zeigen. Angenommen die Jordannormalform von $A$ hätte nur ein einziges Jordankästchen. Was ist dann das Minimalpolynom von $A^{-1}$?\(\endgroup\)


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Student10023
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-07-25

Hier stand Unsinn


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Nuramon
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-07-25

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) @Student10023: Du gehst fälschlicherweise davon aus, dass $J'$ invers zu $J$ sein muss. $J$ muss ja keine Diagonalmatrix sein.\(\endgroup\)


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Student10023
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-07-25

@Nuramon da hast du recht ich dachte gelesen zu haben, dass man annimmt, dass A Diagonalisierbar ist, aber so stimmt das natürlich nicht.


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Pioch2000
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-26

Wenn die JNF aus nur einem Jordankästchen besteht, dann ist das Minimalpolynom=charakteristisches Polynom=$(x-\lambda)^n$


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Nuramon
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-07-26

Ja. Und was ist das Minimalpolynom der inversen Matrix?


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Pioch2000
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-26

Das minimalpolynom der inversen Matrix ist $(x-\frac{1}{\lambda})^n$, oder?


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Nuramon
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  Beitrag No.11, eingetragen 2021-07-26

Kannst Du das begründen?


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Pioch2000
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-26

Die Inverse des Jordan Blocks ist gegeben durch $\begin{pmatrix} \frac{1}{\lambda} & -\frac{1}{\lambda^2}&\dots &\pm \frac{1}{\lambda^n}\\ & \ddots & \ddots &-\frac{1}{\lambda^2}\\ & & & \frac{1}{\lambda} \\ \end{pmatrix}$ Diese Matrix hat den Eigenwert $\frac{1}{\lambda}$ mit algebraischer Vielfachheit $n$ und geometrischer Vielfachheit 1. Der Jordanblock dieser Inversen ist also gegeben durch $\begin{pmatrix} \frac{1}{\lambda} & 1 & & \\ & \ddots & \ddots &1 \\ & & & \frac{1}{\lambda} \\ \end{pmatrix}$ Man kann das Minimalpolynom direkt ablesen als $(x-\frac{1}{\lambda})^n$


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Nuramon
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  Beitrag No.13, eingetragen 2021-07-26

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Wie hast Du diese Inverse bestimmt? Wenn das stimmt, dann kann man das natürlich so machen. Es ist aber gar nicht nötig, die Inverse explizit zu bestimmen. Du musst einfach nachrechnen, dass das Polynom $q(x)=(x-\frac 1\lambda)^n$ die beiden Eigenschaften des Minimalpolynoms von $A^{-1}$ erfüllt: Es gilt $q(A^{-1})=0$ und jedes andere Polynom $r$ mit $r(A^{-1})=0$ ist durch $q$ teilbar.\(\endgroup\)


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Pioch2000
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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-26

Stimmt, deine Lösung geht deutlich schneller. Wie hilft mir das weiter, wenn ich das Minimalpolynom jedes Jordan Blocks kenne?


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Nuramon
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  Beitrag No.15, eingetragen 2021-07-26

Wenn Du die Überlegung aus No.8 umkehrst, dann kennst Du jetzt eine Jordannormalform für das Inverse jedes Jordankästchens.


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Pioch2000
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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-26

Also hat die JNF der Inversen jedes Jordankästchens die Form $J_k^{-1}\begin{pmatrix} \frac{1}{\lambda_k} & 1 & \\ & \ddots & 1 \\ & &\frac{1}{\lambda_k} \\ \end{pmatrix}$ Das gilt ja erstmal nur für jedes einzelne Jordankästchen. Kann ich daraus schließen, dass die komplette Inverse der JNF die gewünschte Form hat?


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Nuramon
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  Beitrag No.17, eingetragen 2021-07-26

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Dir JNF der Inversen eines Jordankästchens sieht so aus. (Die Inverse eines Jordankästchens sieht so aus, wie Du in No.12 geschrieben hast.) Um diese kästchenweise Überlegung jetzt auf die gesamte Matrix anzuwenden, musst Du Dich von gewissen Eigenschaften beim Multiplizieren von Blockmatrizen überzeugen. Oder Du formulierst das bisher gezeigte als eine Aussage über die Existenz von Basen von $A$-invarianten Unterräumen mit bestimmten Eigenschaften.\(\endgroup\)


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Pioch2000
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  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-26

Ich hänge echt fest und weiß nicht wie ich das für die komplette Matrix zeigen soll :/


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Nuramon
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  Beitrag No.19, eingetragen 2021-07-26

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Du brauchst eigentlich nur, dass man Blockmatrizen so miteinander multiplizieren kann, wie man es erwartet. Es reicht sogar der folgende Spezialfall: Seien $M_1, N_1,M_2,N_2\ldots, M_k, N_k$ quadratische Matrizen, so dass $M_i$ und $N_i$ für $i=1,\ldots, k$ jeweils gleich groß sind ($M_i$ und $M_j$ für $i\not=j$ dürfen aber unterschiedliche Größe haben). Dann gilt (außerhalb der "Diagonalen" stehen nur Nullen) $$ \begin{pmatrix} M_1& & & 0\\ &M_2\\ & & \ddots\\ 0& & & M_k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N_1& & & 0\\ &N_2\\ & & \ddots\\ 0& & & N_k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} M_1N_1& & & 0\\ &M_2N_2\\ & & \ddots\\ 0& & & M_kN_k \end{pmatrix}$$ \(\endgroup\)


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Pioch2000
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  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-27

Sei $J_i^{-1}$ die Inverse jedes Jordankästchens von $J$ und $k$ die Anzahl der Jordankästchen von $J$. Dann existiert für jedes $J_i^{-1}$ eine invertierbare Matrix $T_i$ mit $T_i^{-1}J_i^{-1}T_i=\begin{pmatrix} \frac{1}{\lambda_i} & 1 & &\\ & \ddots & \ddots\\ & & \frac{1}{\lambda_i} & 1 \\ \end{pmatrix}$ für $i=1,\dots, k$ Definiere $T=\begin{pmatrix} T_1 & & \\ & \ddots & &\\ & & & T_k\\ \end{pmatrix} \in Gl(n,\mathbb C)$ Dann Gilt $TJ^{-1}T=\begin{pmatrix} T_1^{-1}J_1^{-1}T_1 & & \\ & \ddots & & \\ & & &T_k^{-1}J_k^{-1}T_k \\ \end{pmatrix}$ Und damit hat die JNF von $A^{-1}$ die gewünschte Form.


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Nuramon
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  Beitrag No.21, eingetragen 2021-07-27

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) In der vorletzten Zeile muss es $T^{-1}J^{-1}T$ heißen. Abgesehen davon ist alles richtig. \(\endgroup\)


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Pioch2000
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  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-27

Stimmt, das habe ich übersehen. Vielen Dank für deine Hilfe


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