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Mechanik » Theoretische Mechanik » Teilchen auf einer Geraden im Schwerfeld: Bewegungsgleichungen bestimmen
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Universität/Hochschule J Teilchen auf einer Geraden im Schwerfeld: Bewegungsgleichungen bestimmen
avacyn
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Dabei seit: 30.03.2021
Mitteilungen: 19
  Themenstart: 2021-07-25

Hallo zusammen, ich habe gerade ein paar Schwierigkeiten mit folgendem Problem: "Ein Teilchen bewegt sich im homogenes Schwerefeld der Erde entlang einer Geraden f(x) zwischen den Punkten (0,h) und (a,0) in der X-Y-Ebene. a) Geben Sie f(x) an und lösen die die Bewegungsgleichungen für x und y wenn das Teilchen zur Zeit t=0 in dem Punkt (0,h) ruht. b)Zu welcher Zeit $\tau$ erreicht das Teilchen die Position (a,0)? c)Berechnen Sie die auf das Teilchen ausgeübte Zwangskraft. Hinweis: Verwenden Sie den Neigungswinkel $\phi$ der geraden, wobei $tan(\phi)=\frac{h}{a}$ ist." Bisher habe ich: Da f(x) eine gerade durch zwei gegebene Punkte ist, folgt $f(x)=y=-\frac{h}{a}x+h=-tan(\phi)x +h$. Damit ergibt sich eine Zwangsbedingung $g(x,y)=y+tan(\phi)x-h=0$. Die Lagrangefunktion für das Teilchen würde somit die Form $L=\frac{m}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2) -mgy +\lambda g(x,y)$ annehmen, wobei $\lambda$ ein Lagrange-Parameter ist. Damit lassen sich dann die Bewegungsgleichungen aufstellen: $m \ddot{x}=\lambda tan(\phi)$ $m \ddot{y}=-mg +\lambda$ Differenziert man nun die Zwangsbedingung g(x,y) zweimal nach der Zeit ergibt sich $\ddot{y}=-tan(\phi) \ddot{x}$ setzt man nun hier die Bewegungsgleichungen nach $\ddot{x}$ und $\ddot{y}$ aufgelöst ein, folgt $\frac{\lambda}{m}-g=-tan^2 (\phi) \frac{\lambda}{m}$ jetzt lässt sich der Lagrange-Parameter bestimmen: $ \lambda=\frac{mg}{1+tan^2(\phi)} $. Setzt man $\lambda$ jetzt wieder in die Bewegungsgleichungen ein gilt: $m \ddot{x}=\frac{mg}{1+tan^2(\phi)} tan(\phi)$ $m \ddot{y}=\frac{mg}{1+tan^2(\phi)} -mg$ So weit bin ich gekommen (bin mir allerdings unsicher, ob das ganze auch so stimmt), aber wie kann ich jetzt x(t) und y(t) bestimmen? Und wie rechne ich dann die Zeit $\tau$ aus? Ich wäre jedem ausgesprochen dankbar, der mir hierbei weiterhelfen könnte!


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semasch
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-26

Moin avacyn, was du bisher gemacht hast, stimmt schon mal sehr gut. Um die Trajektorie $(x(t),y(t))$ zu bestimmen, musst du einfach die von dir gefundenen Bewegungsgleichungen \quoteon(2021-07-25 23:49 - avacyn im Themenstart) $m \ddot{x}=\frac{mg}{1+tan^2(\phi)} tan(\phi)$ $m \ddot{y}=\frac{mg}{1+tan^2(\phi)} -mg$ \quoteoff mit den Anfangsbedingungen $(x(0),y(0)) = (0,h)$ und $(\dot{x}(0),\dot{y}(0)) = (0,0)$ durch zweimalige Integration lösen. Die Zeit $\tau$ bestimmt du dann aus der Gleichung $y(\tau) = 0$. LG, semasch


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avacyn
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-26

Halo semasch, alles klar und vielen Dank für deine Hilfe!


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