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Analysis » Funktionalanalysis » Existenz Fouriertransformierte
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Universität/Hochschule J Existenz Fouriertransformierte
Physiker123
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  Themenstart: 2021-07-26

Zur Existenz der Fouriertransformierten habe ich bisher folgendes herausgefunden -Hinreichende Bedingung: Die zu transformierende Funktion ist absolut integrierbar \[\int\limits_{-\infty}^{\infty} \vert x(t)\vert ~dt< \infty\] -Notwendige Bedingung: Die Funktion konvergiert gegen Null \[\lim\limits_{t\to \infty} x(t)=0\] Für komplexe Funktionen würde ich Real-und Imaginärteil gesondert betrachten. Demnach würde allerdings die Funktion \[x(t)=\exp(ibt^2/2)~;b\in\mathbb{R}\] keine Transformierte besitzen. Tatsächlich ist aber \[FT[x(t)]=\frac{\exp\left(-i\omega^2/(2b)\right)}{\sqrt{-ib}}\] Wo liegt der Fehler?


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Wally
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Hallo, deine notwendige Bedingung ist falsch. Es gibt doch viele absolut integierbare Funktionen, die bei \( \pm \infty\) keinen Grenzwert haben. Vielleicht hast du das damit verwechselt: wenn es einen Grenzwert gibt, dann muss der Null sein. Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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bdominik
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-07-27

Hast du vielleicht hier etwas verwechselt? Deine hinreichende Bedingung bedeutet $x \in L^1(\mathbb{R})$. Nach dem Lemma von Riemann-Lebesgue ist die Fouriertransformierte $\hat{x}$ dann eine $C_0(\mathbb{R})$-Funktion, d.h. $\lim\limits_{|t| \to \infty} \hat{x}(t)=0$ und $\hat{x}$ ist stetig. Also kurz gesagt: die Fouriertransformierte konvergiert gegen 0 im unendlichen, aber die Funktion die zu transformieren ist, muss dies nicht erfüllen.


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semasch
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-07-27

Moin Physiker123, wie meine Vorredner schon gesagt haben, passt deine notwendige Bedingung so nicht. Um auf deine ursprüngliche Frage einzugehen: Die Funktion $t \mapsto 1/\sqrt{2\pi} \, x(t) e^{-i\omega t}$ ist nicht Lebesgue-integrierbar, demnach hat $x$ im herkömmlichen Sinn auch keine Fouriertransformierte. Für $b \neq 0$ ist die Funktion jedoch uneigentlich Riemann-integrierbar mit dem Integralwert (entspricht deinem Ausdruck aus dem Startbeitrag, allerdings mit einer Präzisierung des ambivalenten Ausdrucks $\sqrt{-ib}$) \[\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-i\omega t} \, dt = \frac{e^{i\left(\text{sgn}(b)\frac{\pi}{4}-\frac{\omega^2}{2b}\right)}}{\sqrt{|b|}}. \tag{1}\] Tatsächlich lässt sich aber $x$, selbst im Fall $b = 0$, eine Fouriertransformierte zuordnen, indem man $x$ als reguläre temperierte Distribution auf dem Raum der Schwartz-Funktionen auffasst. Für $b \neq 0$ ist selbige dann regulär und gegeben durch $(1)$, für $b = 0$ ist sie nicht mehr regulär und gegeben durch $\mathcal{F}(x) = \sqrt{2\pi} \delta_0$ (wobei Letzteres die Deltadistribution mit Pol in $0$ ist). LG, semasch


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