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Universität/Hochschule Homöomorphie von Simplizialkomplexen zu anderen top. Räumen
dvdlly
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  Themenstart: 2021-07-27

Hi, Ich sitze vor folgenden Aufgaben: Konstruiere einen Simplizialkomplex \(K\), dessen Realisierung (also \(\mid K \mid\) zu keiner Mannigfaltigkeit homöomorph ist. Warum gibt es keinen Simplizialkomplex \(K\), so dass \(\mid K \mid\) zu \(S^1\) homöomorph ist? Kann mir jemand einen Tipp geben, was ich mir überlegen muss? Danke!


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Kezer
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\) Hi, \quoteon(2021-07-27 11:55 - dvdlly im Themenstart) Warum gibt es keinen Simplizialkomplex \(K\), so dass \(\mid K \mid\) zu \(S^1\) homöomorph ist? \quoteoff Sicher, dass das nicht geht? Tipp zur ursprünglichen Aufgabe: Eine Mannigfaltigkeit hat eine feste Dimension $n$ (insbesondere variiert die Dimension nicht), also überall sieht es lokal wie $\R^n$ aus. Konstruiere einen Simplizialkomplex, wo das nicht so ist.\(\endgroup\)


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dvdlly
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-27

Hi, Danke für deine Antwort Tut mir Leid, ich habe mich verlesen. Der genaue Wortlaut der Aufgabe ist: Warum gibt es keinen Simplizialkomplex \(K\), so dass \(\mid K \mid = S^1\) gilt. Zur anderen Aufgabe: ja das habe ich mir auch überlegt. Seien beispielsweise \(v_0,v_1,v_2\) affin unabhängig und \(K = \{v_0,e(v_1,v_2)\}\) jetzt muss ich entweder zeigen, dass \(\mid K \mid\) lokal euklidisch ist oder eben nicht. Mein Argument wäre das folgende: für \(v_0\) muss eine offene, zu \(\mathbb{R}^n\) homoömorphe Umgebung existieren. Nun gilt, dass eine offene Umgebung von \(v_0\) entweder zwei oder eine Zusammenhangskomponente besitzt. Besitzt sie eine, so besteht die Menge nur aus \(v_0\), dann müsste \(\mid K \mid\) lokal eukld. zu \(\mathbb{R}^0\) sein, das geht nicht. Also muss \(n \geq 1\) gelten. Falls \(n = 1\) ist kann man \(v_0\) aus der offenen Menge entfernen und hat dann nur eine Zusammenhangskomponente, aber dann hätte die homöomorphe Menge drei statt einer Zusammenhangskomponente also kann \(n=1\) nicht gelten. Für \(n\geq 2\) hätte die zur offenen Menge von \(v_0\) homöomorphe Menge aber immer noch zwei Zusammengskomponenten, wenn der Bildpunkt von \(v_0\) entfernt werden würde, also kann \(n\geq 2\) auch nicht gelten. Stimmt das?


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dvdlly
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-27

Ah die Umgebung von \(v_0\) muss nicht unbedingt eine oder zwei Zusammenhangskomponenten haben, aber wenn man das Argument verallgemeinert für \(c\) Zusammenhangskomponenten müsste es trotzdem gehen oder


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Kezer
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-07-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\) Hmm, ich weiß nicht, wie ihr Simplizialkomplexe definiert habt und weiß leider auch nicht, was du in deinem Absatz machst (aber eventuell liegt es an mir, da ich bisher noch nicht wirklich etwas über Simplizialkomplexe gelernt habe... Sorry dafür.). Allerdings kann man $S^1$ (bis auf Homöomorphismus) als Realisierung eines Simplizialkomplexes konstruieren (man nehme z.B. einfach den Rand von $\Delta^2$). Allgemein ist jede glatte Mannigfaltigkeit triangulierbar (siehe nLab). Und für anderen Teil kann man z.B. auch einfach sowas wie eine disjunkte Vereinigung von Standardsimplizes nehmen.\(\endgroup\)


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