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Analysis » Topologie » Direkter Limes von lokalkompakten Räumen
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Universität/Hochschule Direkter Limes von lokalkompakten Räumen
bdominik
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  Themenstart: 2021-07-27

Hallo Leute, ich habe in Notizen folgenden Aussage gefunden und suche nach einer Referenz oder einem Beweis: Angenommen $X_1,X_2,...$ sind lokalkompakte (Hausdorff-)Räume, sodass $X_i$ in $X_{i+1}$ topologisch eingebettet werden kann. Dann soll angeblich der induktive/direkte Limes $X=\lim_{i \to \infty} X_i=\bigcup\limits_{i \in \mathbb{N}} X_i$ ein Hausdorff Raum sein (mit der direkten Limes Topologie, also $U \subseteq X$ offen $\Leftrightarrow \forall n \in \mathbb{N}: U \cap X_n \subseteq X_n$ offen). Was mir klar ist und womit es zutun haben sollte ist: Falls $K \subseteq X$ ist kompakt, dann gibt es ein $n \in \mathbb{N}$ mit $K \subseteq X_n$ und $K$ ist auch kompakt in $X_n$. Für diese Aussage reicht es ja bereits, dass die X_i Hausdorff sind. Viele Grüße, Dominik


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-27

Ist $X_i \subseteq X_{i+1}$ abgeschlossen?


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bdominik
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Mitteilungen: 8
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-27

Nein. I.A. nicht. Ich habe nun aber einen Beweis in der Literatur gefunden. Trotzdem danke.


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bdominik hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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