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Universität/Hochschule kleiner Satz von Fermat
butts
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  Themenstart: 2021-07-27

Hallo ! für einen Beweis zur Teilbarkeit habe ich als Hinweis folgendes: \(17 \equiv 1 \pmod 2\) und daraus soll als Verallgemeinerung des kleinen Satzes von Fermat folgen: \(n^{17} \equiv n^1 \pmod 3\) Ich kann das nicht nachvollziehen. Hat jemand von euch einen Hinweis für mich warum das so gilt ? Danke !! lG butts


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ligning
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-27

Hallo, wenn man den Kleinen Satz von Fermat mithilfe des Satzes von Lagrange beweist, fallen derartige Aussagen nebenher mit ab. Ist dir dieser Beweis vertraut?


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butts
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-27

Hallo ligning ! Ich kenne des Satz von Lagrange wonach bei einer zyklisch erzeugten Gruppe die Ordnung einer Untergruppe stets Teiler der Gruppenordnung ist. Aber für den kleinen Satz von Fermat habe ich bloß einen Beweis per Induktion gefunden, wobei Lagrange nicht benutzt wurde. lG butts


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ligning
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-07-27

Hier geht es um (wiederholte) Multiplikation in $\IZ/3\IZ$. Was ist die Ordnung der multiplikativen Gruppe $(\IZ/3\IZ)^\times$, und was kann man daraus für $n^{17}$ schließen? (Den Sonderfall $n=0$ sollte man eventuell auch erwähnen.)


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butts
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-27

Hallo ligning ! Ist bei der Gruppe \( (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^{\times} \) die Restklasse 2 das erzeugende Element ? Ich bin da nicht sehr sattelfest :( lG butts


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ligning
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-07-27

Ja, aber das spielt eigentlich keine Rolle, es kommt nur auf die Ordnung der Gruppe an. Diese ist 2. Allgemein hat, für jede Primzahl $p$, $(\IZ/p\IZ)^\times$ die Ordnung $p-1$, weil alle $1,\,2,\ldots,\,p-1$ teilerfremd zu $p$ sind.


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Kuestenkind
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-07-27

Huhu butts, du kannst es dir doch auch einfach über \(n^{17}=n^{2\cdot8+1}=n^1\cdot(n^2)^8\) überlegen. Und für \(n^2\mod 3\) liefert dir doch nun Fermat eine Aussage. Allgemein gilt so für alle \(d,k,n\in \mathbb{N}\) mit \(n,k>1\): \(d\mid n^k-n\) für alle \(n\iff d\) ist quadratfrei und \(p-1\mid k-1\) für alle Primzahlen \(p\mid d\) Damit kannst du dir dann z.B. leicht \(a^{121}\equiv a \pmod {385}\) überlegen. Gruß, Küstenkind


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Kezer
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-07-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\) Hi, \quoteon(2021-07-27 18:27 - butts in Beitrag No. 4) Ist bei der Gruppe \( (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^{\times} \) die Restklasse 2 das erzeugende Element ? Ich bin da nicht sehr sattelfest :( \quoteoff probiere das doch einfach mal aus (auch wenn ligning dir bereits die Antwort gegeben hat), die Gruppe hat ja nur zwei Elemente. Also: Schreibe auf, was "erzeugendes Element" bedeutet. Mache dir klar, was die Gruppenoperation in der Gruppe ist. Überlege dir, welche Elemente alle in der Gruppe sind.\(\endgroup\)


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