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| Autor |
  symmetrische Matrizen |
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mathilde01
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 13.07.2021
Mitteilungen: 62
 |  Themenstart: 2021-07-29
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Sei $V=M(n\times n,\mathbb R)$ der Raum der reellen $(n\times n)$-Matrizen und $V_+=\{A\in V | A=A^T\}$ der Unterraum aller symmetrischen Matrizen.
Für eine feste Matrix $S\in V$ betrachten wir die Abbildung
$f:V_+ \longrightarrow V$
$A\longmapsto S^TAS $
Zeigen Sie:
a) $f$ ist linear
b) Bild$(f)\subseteq V_+$
c)Die lineare Abbildung $f:V_+\longrightarrow V_+$ ist genau dann invertierbar, wenn $S$ invertierbar ist.
a) und b) habe ich bereits gezeigt, bei c) komme ich allerdings nicht weiter.
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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10906
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-29
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
hast du bedacht, dass die Inversen von invertierbaren symmetrischen Matrizen ebenfalls symmetrisch sind?
Ich hätte da so eine Idee, wie man das für den Teil c) vewenden könnte.
EDIT:
Nein, das obige braucht man gar nicht (da hatte ich die Aufgabe falsch gelesen, sorry).
Es muss ja eigentlich nur für jedes \(A\in V_+\) ein eindeutig bestimmtes Urbild unter \(f\) geben...
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Lineare Abbildungen' von Diophant]\(\endgroup\)
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ligning
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-07-29
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Es sind zwei Richtungen zu zeigen: 1) Wenn S invertierbar ist, dann hat f eine Inverse. Ansatz: Löse die Gleichung $B = S^T A S$ (durch Matrixoperationen...) nach $A$ auf. 2) Wenn f invertierbar ist, dann ist S invertierbar. Ansatz: $f(A)=I$.
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mathilde01
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 13.07.2021
Mitteilungen: 62
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-29
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Sei also $S$ invertierbar. Dann ist $f(A)=S^TAS=B$ für ein $B\in V_+$
Umformen ergibt $A=S^{T^{-1}}BS^{-1}$. Die Umkehrfunktion ist also $f^{-1}(B)=S^{T^{-1}}BS^{-1}$.
Sei umgekehrt $f$ invertierbar. Dann ist $f$ bijektiv. Also existiert ein $A\in V_+$ mit $f(A)=S^TAS=E_n$
Dann gilt:
det($S^TAS$)=det($E_n$)
det($S^2$)det($A$)=1
det($S)\neq$ 0
Damit ist $S$ invertierbar.
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Diophant
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Mitteilungen: 10906
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| Beitrag No.4, eingetragen 2021-07-29
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Hallo,
das sieht gut aus. 👍
Gruß, Diophant
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ligning
Senior
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3555
Wohnort: Berlin
| Beitrag No.5, eingetragen 2021-07-29
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Ich würde noch erwähnen, dass mit S auch $S^T$ invertierbar ist, oder gleich $(S^T)^{-1} = (S^{-1})^T$ benutzen und so sehen, dass die inverse Abbildung sogar von der gleichen Form ist.
Bei der anderen Richtung hätte es schon ausgereicht, an $(S^T A)S = I$ die Invertierbarkeit von $S$ abzulesen. Die Determinante braucht man da gar nicht ins Feld zu führen.
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