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Strukturen und Algebra » Gruppen » Es gibt nur eine dreielementige Gruppe
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Universität/Hochschule J Es gibt nur eine dreielementige Gruppe
OliverFuchs
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  Themenstart: 2021-07-31

\(\begingroup\)\(\newcommand{\al}{\alpha} \newcommand{\be}{\beta} \newcommand{\bs}{\backslash} \newcommand{\ga}{\gamma} \newcommand{\de}{\delta} \newcommand{\ep}{\varepsilon} \newcommand{\ze}{\zeta} \newcommand{\et}{\eta} \newcommand{\io}{\iota} \newcommand{\ka}{\kappa} \newcommand{\la}{\lambda} \newcommand{\rh}{\rho} \newcommand{\si}{\sigma} \newcommand{\ta}{\tau} \newcommand{\ph}{\varphi} \newcommand{\ch}{\chi} \newcommand{\ps}{\psi} \newcommand{\om}{\omega} \newcommand{\Ga}{\Gamma} \newcommand{\De}{\Delta} \newcommand{\Th}{\Theta} \newcommand{\La}{\Lambda} \newcommand{\Si}{\Sigma} \newcommand{\Ph}{\Phi} \newcommand{\Ps}{\Psi} \newcommand{\Om}{\Omega} \newcommand{\NN}{\mathbb N} \newcommand{\ZZ}{\mathbb Z} \newcommand{\QQ}{\mathbb Q} \newcommand{\RR}{\mathbb R} \newcommand{\CC}{\mathbb C} \newcommand{\HH}{\mathbb H} \newcommand{\DD}{\mathbb D} \newcommand{\TT}{\mathbb T} \newcommand{\KK}{{\mathbb K}} \newcommand{\oo}{{\infty}} \newcommand{\PP}{\mathbb P} \newcommand{\BB}{\mathbb B} \newcommand{\MM}{\mathbb M} \newcommand{\alt}{\operatorname{alt}} \newcommand{\dom}{\operatorname{Dom}} \newcommand{\ceil}{\operatorname{ceil}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \newcommand{\ev}{\operatorname{ev}} \newcommand{\floor}{\operatorname{floor}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\graph}{\operatorname{Graph}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\incl}{\operatorname{incl}} \newcommand{\kgV}{\operatorname{kgV}} \newcommand{\li}{\operatorname{li}} \newcommand{\ord}{\operatorname{ord}} \newcommand{\ptp}{\operatorname{ptp}} \newcommand{\rang}{\operatorname{rang}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\sym}{\operatorname{sym}} \newcommand{\trg}{\operatorname{Trg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\card}{\operatorname{card}} \newcommand{\R}{\Rightarrow} \newcommand{\L}{\Leftarrow} \newcommand{\gdw}{\Leftrightarrow} \) Hallo, wieder tummel ich mich in der Steop herum. Nach dem Beweis, dass es bis auf Isomorphie nur eine zweielementige Gruppe gibt, und die ist kommutativ, möchte ich das jetzt auch für dreielementige Grundmengen beweisen. Dazu ging ich wie folgt vor: Die drei Elementigen Gruppen. Als Grundmenge wähle ich, repräsentativ, $G=\{0, 1, 2\}$ und die Verknüpfung schreibe ich additiv. Also ist $0$ das neutrale Element. Nun muss ich wieder alle möglichen Verknüpfungstabellen aufstellen. Damit ich aber weniger Aufwand habe wende ich gleich die notwendige Bedingung an, dass in jeder Zeile und jeder Spalte jedes Element genau einmal vorkommt. Damit muss ich mir weniger Tabellen ansehen. Tabelle 1 $ \begin{table} \begin{tabular}{c|ccc} + & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 1 \\ \end{tabular} \end{table} $ Tabelle 2 $ \begin{table} \begin{tabular}{c|ccc} + & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \\ \end{tabular}% Nein \end{table} $ Tabelle 3 $ \begin{table} \begin{tabular}{c|ccc} + & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \\ \end{tabular}% Nein \end{table} $ Tabelle 4 $ \begin{table} \begin{tabular}{c|ccc} + & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 2 \\ \end{tabular}%Nein K \end{table} $ Das sind die vier möglichen Verknüpfungstabellen die ich gefunden habe, wenn $0$ links oben steht. Wenn ich nun $1$ oder $2$ links oben hinschreibe so komme ich, bis auf Namensänderung, in die selbe Situation. Also habe ich 16 mögliche Verknüpfungstabellen gefunden. (von 27). Mein Programm hat ergeben, dass nur die erste Tabelle, eine Verknüpfung ergibt, die eine Gruppe ergibt. Diese ist sogar kommutativ. Es gibt nun die folgenden Permutationen von drei Elementen $0\to 0,1\to 1,2\to 2$,$0\to 0,1\to 2,2\to 1$ $0\to 1,1\to 0,2\to 2$, $0\to 1,1\to 2,2\to 0$, $0\to 2,1\to 0,2\to 1$ und $0\to 2,1\to 1,2\to 0$. Das entspricht den Permutationen $\sigma_{0,1,2},\sigma_{0,2,1},\sigma_{1,0,2},\sigma_{1,2,0} \sigma_{2,0,1},\sigma_{2,1,0}$. Das sind sechs Permutationen. Es gibt also fünf weitere Verknüpfungen auf einer Dreielementigen Menge die eine Gruppe ergeben. Aber bis auf Namensgebung sind die alle gleich. Damit gibt es, nach meiner Meinung, nur eine dreielementige Gruppe und die ist kommutativ. So weit meine Überlegungen. Meine Frage: Da ich mich in Gruppentheorie überhaupt nicht auskenne, möchte ich nur wissen, ob das Ergebnis stimmt. Danke lg Oliver🙂 \(\endgroup\)


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Kezer
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-31

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\) \quoteon(2021-07-31 08:05 - OliverFuchs im Themenstart) Damit gibt es, nach meiner Meinung, nur eine dreielementige Gruppe und die ist kommutativ. So weit meine Überlegungen. Meine Frage: Da ich mich in Gruppentheorie überhaupt nicht auskenne, möchte ich nur wissen, ob das Ergebnis stimmt. \quoteoff Ja, nach dem Satz von Lagrange gibt es für Primzahlen $p$ nur eine Gruppe der Ordnung $p$: die zyklische Gruppe $C_p \cong \mathbb{Z}/p \mathbb{Z}$.\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-07-31

Hallo OliverFuchs, \quoteon(2021-07-31 08:05 - OliverFuchs im Themenstart) Also ist $0$ das neutrale Element. Nun muss ich wieder alle möglichen Verknüpfungstabellen aufstellen. \quoteoff Mit dieser Festlegung fallen die Tabellen 2, 3 und 4 sofort flach. Es bleibt Tabelle 1, von der nachzuweisen ist, dass es sich um eine Gruppenverknüpfung handelt.


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OliverFuchs
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-31

Lieber StrgAltEntf, Danke, ja das habe ich übersehen, denn in den Tabellen 2,3,4 wäre die 0 nicht das additiv neutrale Element. Also hat man sofort nur die eine Tabelle. Danke. lg Oliver🙂


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OliverFuchs
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-31

Lieber Kezer, das ist natürlich ein Kaliber-Argument, den Satz von Lagrange gleich her zu nehmen. So weit bin ich in der Algebra noch nicht. Ich versuche mal wie weit ich zufuß kommen. Danke lg Oliver🙂


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