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Strukturen und Algebra » Gruppen » Die Diedergruppe ist die kleinste nicht kommutative Gruppe
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Universität/Hochschule J Die Diedergruppe ist die kleinste nicht kommutative Gruppe
OliverFuchs
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  Themenstart: 2021-08-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\al}{\alpha} \newcommand{\be}{\beta} \newcommand{\bs}{\backslash} \newcommand{\ga}{\gamma} \newcommand{\de}{\delta} \newcommand{\ep}{\varepsilon} \newcommand{\ze}{\zeta} \newcommand{\et}{\eta} \newcommand{\io}{\iota} \newcommand{\ka}{\kappa} \newcommand{\la}{\lambda} \newcommand{\rh}{\rho} \newcommand{\si}{\sigma} \newcommand{\ta}{\tau} \newcommand{\ph}{\varphi} \newcommand{\ch}{\chi} \newcommand{\ps}{\psi} \newcommand{\om}{\omega} \newcommand{\Ga}{\Gamma} \newcommand{\De}{\Delta} \newcommand{\Th}{\Theta} \newcommand{\La}{\Lambda} \newcommand{\Si}{\Sigma} \newcommand{\Ph}{\Phi} \newcommand{\Ps}{\Psi} \newcommand{\Om}{\Omega} \newcommand{\NN}{\mathbb N} \newcommand{\ZZ}{\mathbb Z} \newcommand{\QQ}{\mathbb Q} \newcommand{\RR}{\mathbb R} \newcommand{\CC}{\mathbb C} \newcommand{\HH}{\mathbb H} \newcommand{\DD}{\mathbb D} \newcommand{\TT}{\mathbb T} \newcommand{\KK}{{\mathbb K}} \newcommand{\oo}{{\infty}} \newcommand{\PP}{\mathbb P} \newcommand{\BB}{\mathbb B} \newcommand{\MM}{\mathbb M} \newcommand{\alt}{\operatorname{alt}} \newcommand{\dom}{\operatorname{Dom}} \newcommand{\ceil}{\operatorname{ceil}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \newcommand{\ev}{\operatorname{ev}} \newcommand{\floor}{\operatorname{floor}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\graph}{\operatorname{Graph}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\incl}{\operatorname{incl}} \newcommand{\kgV}{\operatorname{kgV}} \newcommand{\li}{\operatorname{li}} \newcommand{\ord}{\operatorname{ord}} \newcommand{\ptp}{\operatorname{ptp}} \newcommand{\rang}{\operatorname{rang}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\sym}{\operatorname{sym}} \newcommand{\trg}{\operatorname{Trg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\card}{\operatorname{card}} \newcommand{\R}{\Rightarrow} \newcommand{\L}{\Leftarrow} \newcommand{\gdw}{\Leftrightarrow} \) Hallo, Immer noch hole ich im Zuge der Durcharbeitung des sehr guten Buches 'Einführung in das Mathematische Arbeiten' von Schichel/Steinbauer Uni Wien, die Grundlagen der Algebra nach. In diesem Buch wurde dann als Beispiel für eine Gruppe die Diedergruppe der Decktransformationen des gleichseitigen Dreiecks. Es wurde dort in einer Bemerkung angegeben, dass diese die kleinste nicht kommutative Gruppe ist. Da ich derzeit noch keine Sätze der Algebra zur Verfügung habe, diese Tatsache aber prüfen möchte, habe ich wie folgt überlegt. Die Diedergruppe ist eine sechs elementige Gruppe. Sie ist nicht kommutativ Wenn ABC die Ausgangsreihenfolge der Ecken und $D_1$ die Drehung um $120^o$ und $S_a$ die Spiegelung entlag der Höhe auf $a$ (also durch den Eckpunkt A) dann rechnet man wie folgt. $ (S_a o S_b)(ABC)= S_a(S_b(ABC))=S_a(CBA)=CAB$ und $ (S_b o S_a)(ABC)= S_b(S_a(ABC))=S_b(ACB)=BCA$ . Da aber $CAB\neq BCA$ ist habe ich keine Kommutativität für diese beiden Elemente und somit auch für die ganze Gruppe. Die einzige einfache Möglichkeit, ohne weitere Theorie, dieses Problem zu lösen ist, mir alle Gruppen mit zwei, drei, vier und fünf Elementen anzusehen. Sind alle kommutativ so ist der Beweis geglückt. Ich meinen bisherigen Beiträgen habe ich schon gezeigt, dass es bis auf Isomorphie nur eine zwei- und eine drei- elementige Gruppe gibt. Beide sind kommutativ. Damit muss ich das nur noch für vier und fünf Elemente nachweisen. Ich habe dazu ein Matlabprogramm geschrieben. Dazu bin ich in zwei Schritten vorgegangen. Eine Routine bestimmt ob eine Verknüpfungstabelle eine Gruppe ergibt. Diese wird dann in dem andern Programm eingesetzt das alle Verknüpfungstabellen durch geht. Dass ich damit aber nicht zum Ziel kommen werde, war mir mit der folgenden Überlegung schon klar. Wenn ich eine $n$ elementige Gurndmenge habe und mir dann alle Gruppoide ansehen möchte, also mir alle Verknüpfungstabellen ansehen will, so kann ich eine solche $n\times n$ Tabelle als einen Vektor mit $n^2$ Stellen auffassen. Jede Stelle kann nun mit $n$ Ziffern belegt werden. Das ergibt dann $n^{n^2}$ Verknüpfungstabellen. Diese Zahl steigt enorm schnell an. $2^{2^2}=2^4=16$ $3^{3^2}=3^{9}=19683$ $4^{4^2}=4^{16}=4294967296$ $5^{5^2}=5^{25}=298 023 223 876 953 125$ Wie erwartet hat mein Rechner die 19-Tausend Tabellen noch relativ schnell geschafft. Er hat mir gesagt, dass es nur eine Gruppe mit drei Elementen gibt und die ist kommutativ. Aber schon bei vier Elementen habe ich über 4 Milliarden Verknüpfungstabellen. Da wird der Rechner anstehen. Für die Anzahl bei fünf Elementen kenne ich gar keinen Namen (ca. 300 Millionen Milliarden). Da ist es aussichtslos. Meine Fragen: a) Sind meine Überlegungen korrekt? b) Wie löst man das Problem? \(\endgroup\)


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-01

Aussichtslos ist es nicht ganz. Ich würde mir an deiner Stelle lieber ansehen, warum eine Gruppe, deren Ordnung eine Primzahl oder ein Quadrat einer Primzahl ist, notwendig abelsch (kommutativ) sein muss. Dann ist es sofort erledigt. Edit: Dafür braucht man auch nicht unbedingt solche Resultate wie den Satz von Lagrange. Das kann man für kleine Ordnungen (wenn auch etwas aufwendig) elementar nachprüfen. LG Nico


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OliverFuchs
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\al}{\alpha} \newcommand{\be}{\beta} \newcommand{\bs}{\backslash} \newcommand{\ga}{\gamma} \newcommand{\de}{\delta} \newcommand{\ep}{\varepsilon} \newcommand{\ze}{\zeta} \newcommand{\et}{\eta} \newcommand{\io}{\iota} \newcommand{\ka}{\kappa} \newcommand{\la}{\lambda} \newcommand{\rh}{\rho} \newcommand{\si}{\sigma} \newcommand{\ta}{\tau} \newcommand{\ph}{\varphi} \newcommand{\ch}{\chi} \newcommand{\ps}{\psi} \newcommand{\om}{\omega} \newcommand{\Ga}{\Gamma} \newcommand{\De}{\Delta} \newcommand{\Th}{\Theta} \newcommand{\La}{\Lambda} \newcommand{\Si}{\Sigma} \newcommand{\Ph}{\Phi} \newcommand{\Ps}{\Psi} \newcommand{\Om}{\Omega} \newcommand{\NN}{\mathbb N} \newcommand{\ZZ}{\mathbb Z} \newcommand{\QQ}{\mathbb Q} \newcommand{\RR}{\mathbb R} \newcommand{\CC}{\mathbb C} \newcommand{\HH}{\mathbb H} \newcommand{\DD}{\mathbb D} \newcommand{\TT}{\mathbb T} \newcommand{\KK}{{\mathbb K}} \newcommand{\oo}{{\infty}} \newcommand{\PP}{\mathbb P} \newcommand{\BB}{\mathbb B} \newcommand{\MM}{\mathbb M} \newcommand{\alt}{\operatorname{alt}} \newcommand{\dom}{\operatorname{Dom}} \newcommand{\ceil}{\operatorname{ceil}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \newcommand{\ev}{\operatorname{ev}} \newcommand{\floor}{\operatorname{floor}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\graph}{\operatorname{Graph}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\incl}{\operatorname{incl}} \newcommand{\kgV}{\operatorname{kgV}} \newcommand{\li}{\operatorname{li}} \newcommand{\ord}{\operatorname{ord}} \newcommand{\ptp}{\operatorname{ptp}} \newcommand{\rang}{\operatorname{rang}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\sym}{\operatorname{sym}} \newcommand{\trg}{\operatorname{Trg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\card}{\operatorname{card}} \newcommand{\R}{\Rightarrow} \newcommand{\L}{\Leftarrow} \newcommand{\gdw}{\Leftrightarrow} \) Lieber Nizmme 10, Danke für die Rückmeldung. Ich habe etwas geoogelt und in einer Algebra Übung den Beweis gefunden, dass jede Gruppe der Ordnung $p^2$ mit $p$ Primzahl abelsch ist. Ein Beweis für die Gruppenordnung $p$ steht bei mir noch aus. Ich habe aber gesehen, dass dieser Beweis viel von der Algebra-Vorlesung verwendet, die ich derzeit noch nicht zur Verfügung habe. Außerdem haben ich dann noch das folgende Problem. Selbst wenn ich zeigen kann, dass jede Gruppe der Ordnung $p$ oder $p^2$ mit $p\in\PP$ abelsch ist, habe ich zwar das Problem gelöst, dass die Diedergruppe die (einer der) kleinste(n) nicht abelschen Gruppen ist. Mir geht es aber auch darum die endlichen Gurppen zu charakterisieren. Mich interessieren also alle Gruppen mit 4 und 5 Elementen. Da nützt mir der Beweis welche dann abelsch sind nichts. Es könnte ja sein, dass es gar keine Gurppen dieser Ordnung gibt. lg Oliver😄 \(\endgroup\)


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-08-01

Hallo, das mit dem Charakterisieren ist vielleicht schon etwas anspruchsvoll, wenn man nicht auf die Gruppentheorie zurückgreifen möchte (selbst wenn man dies tut, bleibt es anspruchsvoll...). Weißt du, was eine zyklische Gruppe ist? Mache dir klar, dass deine Gruppen mit zwei bzw. drei Elementen zyklisch sind. Kannst du das mit der Gruppenordnung in Verbindung bringen? Damit könntest du die Ordnung 5 sofort erledigen. Mit Ordnung 4 gibt es bis auf Isomorphie zwei (abelsche) Gruppen, die müsstest du durch Nachrechnen herausfinden. Eine davon wird übrigens ebenfalls zyklisch sein, die andere ist die sog. Kleinsche Vierergruppe. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Strukturen und Algebra' in Forum 'Gruppen' von Diophant]


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-08-01

Hallo OliverFuchs, auf der Suche nach Gruppen der Ordnung 4 ist es keine gute Idee, alle 4 Mrd. Tabellen durchzuprobieren. Aber, du weißt ja wieder, dass es ein neutrales Element geben muss. Wenn die Gruppe aus den Elementen 0, 1, 2 und 3 besteht und 0 das neutrale Element ist, muss es so aussehen: \sourceon | 0 1 2 3 ----------- 0 | 0 1 2 3 1 | 1 2 | 2 3 | 3 \sourceoff Jetzt fehlen nur noch 9 Positionen. Für die Position (1,1) gibt es nur noch drei Möglichkeiten, nämlich 0, 2 oder 3. Mache eine Fallunterscheidung. \sourceon Fall 1 | 0 1 2 3 ----------- 0 | 0 1 2 3 1 | 1 2 2 | 2 3 | 3 \sourceoff Versuche nun, die restlichen Positionen auszufüllen. Beachte dabei, dass in jeder Zeile und in jeder Spalte alle vier Gruppenelmente auftreten müssen. Dadurch erhältst du die von Diophant erwähnten zwei nicht-isomorphen Gruppen.


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OliverFuchs
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-02

Lieber Nizimme10, Ich habe übersehen, dass du meintest, dass man es auch ohne den Satz von Lagrange zeigen kann, also elementar (wenn auch aufwendig) das will ich mir an dieser Stelle momentan ersparen. Aber danke für den Hinweis, denn damit sind die Gruppen der Ordnung 4 und 5 automatisch abelsch. Ich habe dann aber noch das folgende Problem. Wenn Schichel sagt, dass die Diedergruppe die kleinste nicht abelsche Gruppe ist, also das Wort 'die' verwendet, so könnte man daraus schließen dass es sonst keine anderen Gruppen der Ordnung 6 gibt die nicht abelschs sind. Implizit sagt er damit aber, dass entweder jede ander Gruppe der Ordnung 6 abelsch ist oder es keine weiteren Gruppen der Ordnung 6 gibt. Habe ich da recht? Was stimmt da? lg Oliver😄


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nzimme10
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-08-02

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2021-08-02 07:19 - OliverFuchs in Beitrag No. 5) Implizit sagt er damit aber, dass entweder jede ander Gruppe der Ordnung 6 abelsch ist oder es keine weiteren Gruppen der Ordnung 6 gibt. Habe ich da recht? Was stimmt da? lg Oliver😄 \quoteoff Bis auf Isomorphie gibt es zwei verschiedene Gruppen der Ordnung $6$. Die eine ist zyklisch ($\mathbb Z/6\mathbb Z$) und abelsch, die andere ist die angesprochene Diedergruppe $D_3$. Auf Wikipedia findet man auch eine Liste endlicher Gruppen bis Ordnung 20. LG Nico\(\endgroup\)


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OliverFuchs
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\al}{\alpha} \newcommand{\be}{\beta} \newcommand{\bs}{\backslash} \newcommand{\ga}{\gamma} \newcommand{\de}{\delta} \newcommand{\ep}{\varepsilon} \newcommand{\ze}{\zeta} \newcommand{\et}{\eta} \newcommand{\io}{\iota} \newcommand{\ka}{\kappa} \newcommand{\la}{\lambda} \newcommand{\rh}{\rho} \newcommand{\si}{\sigma} \newcommand{\ta}{\tau} \newcommand{\ph}{\varphi} \newcommand{\ch}{\chi} \newcommand{\ps}{\psi} \newcommand{\om}{\omega} \newcommand{\Ga}{\Gamma} \newcommand{\De}{\Delta} \newcommand{\Th}{\Theta} \newcommand{\La}{\Lambda} \newcommand{\Si}{\Sigma} \newcommand{\Ph}{\Phi} \newcommand{\Ps}{\Psi} \newcommand{\Om}{\Omega} \newcommand{\NN}{\mathbb N} \newcommand{\ZZ}{\mathbb Z} \newcommand{\QQ}{\mathbb Q} \newcommand{\RR}{\mathbb R} \newcommand{\CC}{\mathbb C} \newcommand{\HH}{\mathbb H} \newcommand{\DD}{\mathbb D} \newcommand{\TT}{\mathbb T} \newcommand{\KK}{{\mathbb K}} \newcommand{\oo}{{\infty}} \newcommand{\PP}{\mathbb P} \newcommand{\BB}{\mathbb B} \newcommand{\MM}{\mathbb M} \newcommand{\alt}{\operatorname{alt}} \newcommand{\dom}{\operatorname{Dom}} \newcommand{\ceil}{\operatorname{ceil}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \newcommand{\ev}{\operatorname{ev}} \newcommand{\floor}{\operatorname{floor}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\graph}{\operatorname{Graph}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\incl}{\operatorname{incl}} \newcommand{\kgV}{\operatorname{kgV}} \newcommand{\li}{\operatorname{li}} \newcommand{\ord}{\operatorname{ord}} \newcommand{\ptp}{\operatorname{ptp}} \newcommand{\rang}{\operatorname{rang}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\sym}{\operatorname{sym}} \newcommand{\trg}{\operatorname{Trg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\card}{\operatorname{card}} \newcommand{\R}{\Rightarrow} \newcommand{\L}{\Leftarrow} \newcommand{\gdw}{\Leftrightarrow} \) Hallo, Danke für die Liste der endlichen Gruppen bis Ordnung 20. In meiner Naivität glaubte ich ja anfangs, dass alle endlichen Gruppen der Form $\ZZ_n$ sind. Da sehe ich mal dass die $Z_n$ ja eine wichtige Rolle spielen und wir andere haben in der Schule nicht gelernt haben. Dann hat mein Programm Gruppe.m vorallem die Aufgabe neben dem Einselement und den Inversen, das Assoziativgesetz nachzuprüfen. Ich habe nun, wie angeregt, mit der Tabelle 0 1 2 3 1 2 3 begonnen und anschließend mit Fallunterscheidungen gerarbeitet. Für mich war interessant zu sehen, das die Anzahl der möglichen Gruppoide mit $n^{n^2}$ wächst. Damit sind diese Strukturen für die Untersuchung mit Computer, so wie ich es plante, eindeutig zu groß. Aber mit dem Strukturierten Raten, welches mich an Suoku erinnert, kam ich im Falle $n=4$ auf vier mögliche Tabellen. Verknüpfung 1(Kleinsche vierer Gruppe ($V_4$)): $ \begin{table} \begin{tabular}{c|cccc} $+$ & 0 &1 &2 &3\\ \hline 0 & 0 &1 & 2& 3\\ 1 & 1 &0 & 3& 2\\ 2 & 2 &3 & 0& 1\\ 3 & 3 &2 & 1& 0\\%Ja1->Ja \end{tabular} \end{table} $ Verknüpfung 2: $ \begin{table} \begin{tabular}{c|cccc} $+$ & 0 &1 &2 &3\\ \hline 0 & 0 &1 & 2& 3\\ 1 & 1 &0 & 3& 2\\ 2 & 2 &3 & 1& 0\\ 3 & 3 &2 & 0& 1\\%Ja2 -> Ja \end{tabular} \end{table} $ Verknüpfung 3 ($\ZZ_4$): $ \begin{table} \begin{tabular}{c|cccc} $+$ & 0 &1 &2 &3\\ \hline 0 & 0 &1 & 2& 3\\ 1 & 1 &2 & 3& 0\\ 2 & 2 &3 & 0& 1\\ 3 & 3 &0 & 1& 2\\%Ja3 -> Ja \end{tabular} \end{table} $ Verknüpfung 4: $ \begin{table} \begin{tabular}{c|cccc} $+$ & 0 &1 &2 &3\\ \hline 0 & 0 &1 & 2& 3\\ 1 & 1 &3 & 0& 2\\ 2 & 2 &0 & 3& 1\\ 3 & 3 &2 & 1& 0\\%ja4 -> ja \end{tabular} \end{table} $ Mein Programm hat alle als Gruppen ausgewiesen. Sehe ich mir aber die Hauptdiagonalen an so bilden diese jeweils ein anderes Muster. Damit scheint es mir unmöglich eine Isomorphie zu den anderen Tabellen herzustellen. Da habe ich noch irgendwo einen Knopf drinmen. lg Oliver🙂 \(\endgroup\)


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Diophant
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-08-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, deine letzte Tabelle (Verknüpfung 4) ist isomorph zur Kleinschen Viergruppe. Das sieht man, indem man einfach die Elemente \(1\) und \(2\) vertauscht. Daher wird die Kleinsche Viergruppe auch meist mit den Elementen \(1,a,b,ab\) multiplikativ geschrieben, wie auf Wikipedia. Macht man das, dann haben a und b die Rollen der 1 und der 2 aus deinen Tabellen. Und diese Benennung der Elemente macht die Vertauschbarkeit von \(a\) und \(b\) ja offensichtlich. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Kezer
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-08-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\) \quoteon(2021-08-02 11:28 - OliverFuchs in Beitrag No. 7) Mein Programm hat alle als Gruppen ausgewiesen. Sehe ich mir aber die Hauptdiagonalen an so bilden diese jeweils ein anderes Muster. Damit scheint es mir unmöglich eine Isomorphie zu den anderen Tabellen herzustellen. \quoteoff Beispielsweise ist deine zweite Tabelle $\Z/4 \Z$. Probiere einen Isomorphismus zu finden. P.S.: Es ist besser $\Z/n \Z$ zu schreiben als $\Z_n$, da die Notation $\Z_n$ bereits ziemlich überladen ist. \quoteon(2021-08-01 12:37 - OliverFuchs in Beitrag No. 2) Mir geht es aber auch darum die endlichen Gurppen zu charakterisieren. \quoteoff Ich hoffe du hast nicht vor alle endlichen Gruppen zu charakterisieren. (Der Beweis dieser Klassifikation beträgt aktuell etwa 10000 Seiten. Wenn du mehr dazu erfahren möchtest, kannst du nach populärwissenschaftlichen Artikeln zur Klassifikation endlicher einfacher Gruppen suchen.) [Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]\(\endgroup\)


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OliverFuchs
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\al}{\alpha} \newcommand{\be}{\beta} \newcommand{\bs}{\backslash} \newcommand{\ga}{\gamma} \newcommand{\de}{\delta} \newcommand{\ep}{\varepsilon} \newcommand{\ze}{\zeta} \newcommand{\et}{\eta} \newcommand{\io}{\iota} \newcommand{\ka}{\kappa} \newcommand{\la}{\lambda} \newcommand{\rh}{\rho} \newcommand{\si}{\sigma} \newcommand{\ta}{\tau} \newcommand{\ph}{\varphi} \newcommand{\ch}{\chi} \newcommand{\ps}{\psi} \newcommand{\om}{\omega} \newcommand{\Ga}{\Gamma} \newcommand{\De}{\Delta} \newcommand{\Th}{\Theta} \newcommand{\La}{\Lambda} \newcommand{\Si}{\Sigma} \newcommand{\Ph}{\Phi} \newcommand{\Ps}{\Psi} \newcommand{\Om}{\Omega} \newcommand{\NN}{\mathbb N} \newcommand{\ZZ}{\mathbb Z} \newcommand{\QQ}{\mathbb Q} \newcommand{\RR}{\mathbb R} \newcommand{\CC}{\mathbb C} \newcommand{\HH}{\mathbb H} \newcommand{\DD}{\mathbb D} \newcommand{\TT}{\mathbb T} \newcommand{\KK}{{\mathbb K}} \newcommand{\oo}{{\infty}} \newcommand{\PP}{\mathbb P} \newcommand{\BB}{\mathbb B} \newcommand{\MM}{\mathbb M} \newcommand{\alt}{\operatorname{alt}} \newcommand{\dom}{\operatorname{Dom}} \newcommand{\ceil}{\operatorname{ceil}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \newcommand{\ev}{\operatorname{ev}} \newcommand{\floor}{\operatorname{floor}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\graph}{\operatorname{Graph}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\incl}{\operatorname{incl}} \newcommand{\kgV}{\operatorname{kgV}} \newcommand{\li}{\operatorname{li}} \newcommand{\ord}{\operatorname{ord}} \newcommand{\ptp}{\operatorname{ptp}} \newcommand{\rang}{\operatorname{rang}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\sym}{\operatorname{sym}} \newcommand{\trg}{\operatorname{Trg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\card}{\operatorname{card}} \newcommand{\R}{\Rightarrow} \newcommand{\L}{\Leftarrow} \newcommand{\gdw}{\Leftrightarrow} \) Hallo, Ich habe die Notatiobn $\ZZ/n\ZZ$ schon in der Literatur gefunden. Diese suggeriert gleich, dass man $\ZZ$ nach dem Ideal $n\ZZ$ faktorisiert und dann die Äquivalenzklassen betrachtet. Bei $\ZZ_n$ ist das genau so aber eben nicht so gut sichtbar. Ich habe aber bisher nur das Symbol $\ZZ_n$ kennen gelernt und kann daher nicht sage, welche Vorteil die Notation $\ZZ/n\ZZ$ hat. Dann habe ich mit 1 <-> 2 einen Isomorphismus gefunden der die Tabelle 2 in die Tabelle 3 umsetzt. Aber die Tabelle 1 konnte ich trotz einiger Versuche, nicht in die Tabelle 4 isomorph überführen. Dann habe ich mir die interessante Liste der eindlichen Gruppen bis Ordnung 20 in Wikipediea angesehen. Mir ist aufgefallen, dass da bei den Primzahlordnungen immer nur die Gruppe $\ZZ_p$ i.e. $\ZZ/p\ZZ$ steht. Da ich den Satz kenne, dass $\ZZ_p$ genau dann ein Körper ist wenn $p$ eine Primzahl ist, meinte ich da etwas für diesen Fall ablesen zu können. Aber bei diesem Satz wird die Tatsache, dass $p$ eine Primzahl ist nur bei der Multiplikativen Struktur bebraucht. Aber im Fall der Grupp $(\ZZ_p,+)$ habe ich nur die additive Struktur. Ich kann also keine Teil der Beweises vom Satz verwenden. Frage: Stimm es, dass es für jede Primzahlordnung $p$ immer nur eine Gruppe, nämlich $\ZZ_p$ gibt? Frage: Wenn ja, wie zeigt man das?\(\endgroup\)


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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 7665
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.11, eingetragen 2021-08-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2021-08-05 13:15 - OliverFuchs in Beitrag No. 10) Dann habe ich mit 1 <-> 2 einen Isomorphismus gefunden der die Tabelle 2 in die Tabelle 3 umsetzt. Aber die Tabelle 1 konnte ich trotz einiger Versuche, nicht in die Tabelle 4 isomorph überführen. \quoteoff da musst du einfach die Bedeutung der Zahlen 1 und 2 vergessen, d.h., die verhalten sich bei der Addition dann nicht mehr wie gewohnt. Es ist auch sicherlich nicht wirklich klug, diese Gruppe so zu notieren wie in deiner Tabelle 4. Ich wollte damit nur plausibel machen, warum dein Programm auch diese Tabelle als Gruppe bewertet hat. Wie gesagt: schaue dir die erwähnte multiplikative Notation dieser Gruppe mit den Elementen \(1,a,b,ab\) an, dann sollte die Isomorphie klar werden. \quoteon(2021-08-05 13:15 - OliverFuchs in Beitrag No. 10) Frage: Stimm es, dass es für jede Primzahlordnung $p$ immer nur eine Gruppe, nämlich $\ZZ_p$ gibt? Frage: Wenn ja, wie zeigt man das? \quoteoff Man nimmt ein Element ungleich dem neutralen Element und betrachtet die von diesem Element erzeugte Untergruppe. Und benötigt dafür den Satz von Lagrange sowie den Zusammenhang zwischen der Eigenschaft 'zyklisch' und der Ordnung von Elementen einer Gruppe. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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nzimme10
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.11.2020
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Wohnort: Köln
  Beitrag No.12, eingetragen 2021-08-05

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2021-08-05 13:15 - OliverFuchs in Beitrag No. 10) Frage: Stimmt es, dass es für jede Primzahlordnung $p$ immer nur eine Gruppe, nämlich $\ZZ_p$ gibt? Frage: Wenn ja, wie zeigt man das? \quoteoff Eben wieder bis auf Isomorphie, ja. Das kann man ebenfalls mit dem Satz von Lagrange erledigen. Sei $G$ eine Gruppe der Ordnung $p$, wobei $p$ eine Primzahl ist. Dann gibt es (nach Lagrange) ein Element $g\in G$ mit Ordnung $p$. Die Untergruppe die von $g$ erzeugt wird hat folglich auch die Ordnung $p$ und ist daher gleich $G$ (und $G$ damit zyklisch). Nun gilt es noch zu zeigen, dass zyklische Gruppen der gleichen Ordnung immer Isomorph zueinander sind. Seien dazu $G$ und $G'$ zyklische Gruppen der selben Ordnung. Seien weiter $g\in G$ und $g'\in G'$ Erzeuger der jeweiligen Gruppen. Zeige nun z.B., dass $f\colon G\to G', \ f(g^n):=(g')^n$ ein Isomorphismus ist. LG Nico [Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]\(\endgroup\)


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Kezer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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  Beitrag No.13, eingetragen 2021-08-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\) \quoteon(2021-08-05 13:15 - OliverFuchs in Beitrag No. 10) Ich habe aber bisher nur das Symbol $\ZZ_n$ kennen gelernt und kann daher nicht sage, welche Vorteil die Notation $\ZZ/n\ZZ$ hat. \quoteoff Wie gesagt, in der Mathematik gibt es bereits viele Objekte (z.B. die $p$-adischen Zahlen, Lokalisierung, ...), die man mit $\Z_n$ bezeichnet, deshalb ist es meiner Meinung nach besserer Stil $\Z/n \Z$ zu schreiben. Man schreibt auch $C_n$. (Die Geschichte mit $\Z/p \Z$ hatten wir auch schon in deinem letzten Thread. Wenn du unbedingt Lagrange vermeiden möchtest, ist z.B. hier ein alternativer Beweis, aber imo ist Lagrange übersichtlicher und es ist wahrscheinlich ein guter Zeitpunkt für dich den Satz von Lagrange zu lernen. Es ist eines der ersten Resultate, die man in der Gruppentheorie lernt, ich denke du hast genug Vorwissen, es anzupacken.)\(\endgroup\)


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