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Mathematik » Stochastik und Statistik » Sub-lineare Erwartungen und Selbstdominanz
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Universität/Hochschule J Sub-lineare Erwartungen und Selbstdominanz
Fragezeichen
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  Themenstart: 2021-08-01

Hallo, :) ich hänge an einem wahrscheinlich einfachen Sachverhalt fest und ich würde mich freuen wenn mir jemand einen Fingerzeig geben könnte. Ein Funktional $\mathbb{E}:\mathcal{H} \rightarrow \mathbb{R}$ heißt sub-linear wenn es die folgenden Bedingungen erfüllt: (i) Monotonie: $\mathbb{E}[X] \leq \mathbb{E}[Y]$ falls $X\leq Y$. (ii) Erhalt von Konstanten: $\mathbb{E}[c] = c$ für $c\in \mathbb{R}$. (iii) Sub-Additivität: $\mathbb{E}[X+Y] \leq \mathbb{E}[X] + \mathbb{E}[Y]$. (iv) Positive Homogenität: $\mathbb{E}[\lambda X] = \lambda\mathbb{E}[X]$ für alle $\lambda\geq 0$. Die sub-lineare Erwartung $\mathbb{E}_1$ dominiert die sub-lineare Erwartung $\mathbb{E}_2$ (beide definiert auf derselben Grundmenge), falls $\mathbb{E}_1[X]-\mathbb{E}_1[Y] \leq \mathbb{E}_2[X-Y]$ für alle $X, Y\in \mathcal{H}$. Nun heißt es, dass die Eigenschaft (iii) die Selbstdominanz impliziert. Wende ich diese Eigenschaft (iii) an, so erhalte ich $\mathbb{E}[X+(-Y)] \leq \mathbb{E}[X]-\mathbb{E}[Y]$, was ja eher konträr zur Definition der Selbstdominanz steht. Irgendwas übersehe ich also... Danke ?


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-01

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Beachte, dass Homogenität nur für nichtnegative Skalare gefordert war. Du kannst also nicht einfach $\mathbb E[-Y]=-\mathbb E[Y]$ schreiben. LG Nico\(\endgroup\)


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Fragezeichen
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-01

Hi Nico, danke, da hast du Recht. Dementsprechend würde dann lediglich Folgendes gelten: $\mathbb{E}[X+(-Y)] \leq \mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[-1 \cdot Y]$. Wie kann man nun die Selbstdominanz zeigen? Allzu schwer kann das eigentlich nicht sein. Viele Grüße ?


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-08-01

\quoteon(2021-08-01 13:07 - Fragezeichen in Beitrag No. 2) Wie kann man nun die Selbstdominanz zeigen? \quoteoff Du solltest es mit einem anderen ersten Schritt versuchen. Denk dran, dass in den beiden Ungleichungen $X$ und $Y$ nicht notwendigerweise dieselben Zufallsvariablen bezeichnen müssen und dass man (iii) auch in der Form $\mathbb{E}[X+Y]-\mathbb{E}[Y]\le\mathbb{E}[X]$ schreiben kann. --zippy


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-01

Hallo zippy, vielen Dank für die Lösung in Prosa :) Schönen Sonntag noch. ?


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