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Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » Amples kanonisches Geradenbündel impliziert "general type"
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Universität/Hochschule J Amples kanonisches Geradenbündel impliziert "general type"
Kezer
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  Themenstart: 2021-08-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\) Hi, wie geht ein einfaches Argument für folgende Aussage? Vakil, 21.5.F. Sei $X$ eine glatte projektive Varietät über $k$, sodass der kanonische Geradenbündel $\omega_C$ ample ist. Dann ist $X$ vom "general type", d.h. $\operatorname{kod}(X) = \dim{X}$. Dabei ist die Kodaira Dimension $\operatorname{kod}(X)$ von $X$ das kleinste $k$, sodass $\frac{h^0(X, \omega_X^{\otimes j})}{j^k}$ für $j \to \infty$ beschränkt ist. Man könnte nutzen, dass $X$ birational zum kanonischen Modell $\operatorname{Proj}{ \left( \bigoplus_{j \geq 0} \Gamma(X, \omega_X^{\otimes j}) \right)}$ ist, da $\omega_X$ ample ist, dass die Kodaira Dimension die Dimension des kanonischen Modells ist, und dass $\operatorname{kod}(X)$ eine birationale Invariante ist. Allerdings wurde in Vakil bloß die Definition der Kodaira Dimension gegeben (und dass es eine birationale Invariante ist), also geht es womöglich einfacher?\(\endgroup\)


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kurtg
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-01

Hallo, ich würde das Hilbertpolynom projektiver Varietäten, das Grad = dim hat, und Verschwindungssätze für die Kohomologie ampler Geradenbündel verwenden. Du findest die relevanten Sätze bestimmt selbst. Die Aussage folgt auch aus Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch, aber das ist nicht das, was du willst.


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Kezer
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-01

Super, genau nach sowas habe ich gesucht. Danke (auch für den Kommentar zu GHRR)!


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