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Universität/Hochschule J Was ist ein Operator? (Definition)
marcletzgus
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  Themenstart: 2021-08-01

Guten Abend, ich lese zurzeit oft von "Operatoren", wenn ich mich mit gewissen Themen aus der Analysis II tiefer beschäftigen will. Irgendwie wurde in all meinen Skripten, die ich bis jetzt hatte, der Begriff "Operator" nicht definiert. Stattdessen hat man gleich mit dem Begriff des linearen Operators angefangen. Ich habe mir den deutschen Wiki - Eintrag (https://bit.ly/3rKt9Sq) dazu durchgelesen, aber wurde nicht wirklich schlauer dadurch. Ich zitiere den ersten Satz: "Ein Operator ist eine mathematische Vorschrift, durch die man aus mathematischen Objekten neue Objekte bilden kann. Er kann eine standardisierte Funktion oder eine Vorschrift über Funktionen sein. Anwendung finden die Operatoren bei Rechenoperationen, also bei manuellen oder bei maschinellen Berechnungen." So wie ich es verstanden habe, ist also ein Operator einfach eine Abbildung $f$ von $M$ nach $N$? Oder verstehe ich da etwas falsch? Im englischen Wiki-Eintrag (https://en.wikipedia.org/wiki/Operator_(mathematics)) wird dieser Begriff schon detaillierter beschrieben. Ich zitiere: "In mathematics, an operator is generally a mapping or function that acts on elements of a space to produce elements of another space (possibly the same space, sometimes required to be the same space). There is no general definition of an operator, but the term is often used in place of function when the domain is a set of functions or other structured objects. Also, the domain of an operator is often difficult to be explicitly characterized (for example in the case of an integral operator), and may be extended to related objects (an operator that acts on functions may act also on differential equations whose functions are solutions). See Operator (physics) for other examples." Wenn ich den Text richtig verstanden habe, ist ein Operator eine Abbildung $f: M \rightarrow N$, wobei $M, N$ "Räume" sind. Ist ein Raum einfach eine Menge mit bestimmten Eigenschaften oder was genau? Wenn ich eine Menge $M$ vorgebe und nichts weiter dazu sage, ist dann $M$ kein Raum? Ich bin da extrem verwirrt. Ich bräuchte eine möglichst einheitliche Definition des Begriffs "Operator". Wäre für jede Hilfe dankbar. mfg, Marc


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-01

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Wie schon auf Wikipedia steht gibt es nicht wirklich eine einheitliche Definition, insofern muss man dich enttäuschen. Typischerweise tritt das Wort Operator aber als Synonym für Abbildung oder Funktion auf. Wie auch auf Wikipedia steht nutzen viele Autoren das Wort Operator für Abbildungen / Funktionen, die auf einem Funktionenraum definiert sind. Man könnte aber wie gesagt jederzeit auch einfach Abbildung oder Funktion dazu sagen. Durch die Sprechweise "Operator" wird eben ein etwas anderer Standpunkt eingenommen bzw. eine bestimmte Sichtweise nahegelegt. Formal macht das aber keinen Unterschied. Mit dem Wort Raum verhält sich das ähnlich. Typischerweise meint Raum eine Menge mit zusätzlichen Strukturen. Zum Beispiel metrische Räume $(X,d)$, also eine Menge mit einer Metrik, oder topologische Räume $(X,\mathcal T)$ oder Vektorräume et cetera. LG Nico\(\endgroup\)


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Triceratops
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-08-02

Ich kenne das eigentlich so, dass Operatoren (gutartige) Funktionen zwischen Räumen sind, deren Elemente ebenfalls Funktionen sind. Das klassische Beispiel sind lineare Operatoren zwischen Hilberträumen. Nach Wahl einer Orthonormalbasis können wir uns Elemente eines Hilbertraumes als $L^2$-Funktionen vorstellen. Differentialoperatoren sind für differenzierbare Funktionen definiert, Integraloperatoren für integrierbare Funktionen usw. Ich sehe gerade, dass das so schon im Wikipedia-Auszug steht: "... the term is often used in place of function when the domain is a set of functions or other structured objects." Im Prinzip geht es darum, sprachlich eine Abgrenzung zu finden zu den Funktionen, die auf Zahlenmengen oder ähnlichem definiert sind. Operatoren sind gefühlt "abstrakter" als gewöhnliche Funktionen.


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Wario
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-08-02

€dit: Beitrag führt zu einer uninteressanten Diskussion. Keine Zeit für sowas.


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nzimme10
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-08-02

\quoteon(2021-08-02 06:56 - Wario in Beitrag No. 3) Das bekommt man mit Standardfunktionen nicht hin. \quoteoff Was bedeutet hier "Standardfunktionen", und was bekommt man damit nicht hin? LG Nico


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Martin_Gal
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-08-02

Noch ein Aspekt: Oft wird zwischen Operatoren und Funktionalen unterschieden, wobei Funktionale Skalare als Werte haben und Operatoren kompliziertere Elemente. Den Begriff "Skalar" würde ich hier nicht wirklich festlegen wollen, aber in der Regel heißt das eben eine reelle oder komplexe Zahl. Ein Operator hingegen kann auch z.B. eine Funktion auf eine Funktion abbilden. In der Physik steht ein Funktional für eine Funktion einer Funktion. In der Mathematik wird der Begriff aber meine Einschätzung nach allgemeiner verwendet. Ein paar Beispiele für nichtlineare Operatoren: https://encyclopediaofmath.org/wiki/Non-linear_operator


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PhysikRabe
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-08-03

\quoteon(2021-08-02 21:48 - Martin_Gal in Beitrag No. 5) Noch ein Aspekt: Oft wird zwischen Operatoren und Funktionalen unterschieden, wobei Funktionale Skalare als Werte haben und Operatoren kompliziertere Elemente. Den Begriff "Skalar" würde ich hier nicht wirklich festlegen wollen, aber in der Regel heißt das eben eine reelle oder komplexe Zahl. Ein Operator hingegen kann auch z.B. eine Funktion auf eine Funktion abbilden. \quoteoff Um das noch zu präzisieren: Funktionale sind auch Operatoren, aber eben spezielle Operatoren (= Abbildungen, Funktionen) von einem $\mathbb{K}$-Vektorraum nach $\mathbb{K}$, wobei $\mathbb{K}$ ein Körper ist. Das ist also erst einmal ein sehr allgemeiner Begriff, den man aber noch weiter einschränken kann, z.B. lineare und nicht-lineare Funktionale. Am häufigsten begegnet man linearen Funktionalen auf gewissen Funktionenräumen. (Diese Objekte waren letztendlich namensgebend für die Funktionalanalysis.) Wie nzimme10 bereits erwähnte hängt die Nomenklatur auch (wie meistens) vom Kontext ab. In der Funktionalanalysis, wo es typischerweise um metrische oder lokalkonvexe Vektorräume geht, spricht man von "Operatoren" (oder insbesondere "Funktionalen"), jedoch so gut wie nie von "Abbildungen" oder "Funktionen", obwohl diese Begriffe mathematisch die selbe Bedeutung haben. Grüße, PhysikRabe


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helmetzer
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-08-03

\quoteon(2021-08-02 06:56 - Wario in Beitrag No. 3) €dit: Beitrag führt zu einer uninteressanten Diskussion. Keine Zeit für sowas. \quoteoff Ist jedenfalls mieser Stil, einen Beitrag so abzuändern.


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