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Mathematik » Stochastik und Statistik » Markov Kette unendlich viele Fixvektoren
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Universität/Hochschule J Markov Kette unendlich viele Fixvektoren
Ferdan
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Dabei seit: 13.12.2020
Mitteilungen: 50
  Themenstart: 2021-08-02

Hallo, wir betrachten eine endliche homogene Markovkette mit Übergangsmatrix $\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 1 & 0 & 0 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\end{pmatrix}$ Ich habe bereits bestimmt, dass: Die Kette aperiodisch und irreduzible ist und es somit auch eine eindeutige Stationäre Verteilung geben muss, nämlich $x = (\frac{3}{6}, \frac{1}{6}, \frac{2}{6})$ Jetzt lautet die weitere Frage, wie man einen 4ten Zustand ergänzen könnte, sodass es unendlich viele stationäre Verteilungen gibt. (Man darf also die Übergangswahrscheinlichkeiten anpassen) Bisher habe ich immer nur Ketten mit einer eindeutigen stationären Verteilung gesehen (bis auf eine, dazu später aber mehr). Ich verstehe also nicht ganz, was der ausschlaggebende Faktor ist, wie man sich dies am besten konstruiert. Muss man einfach dafür sorgen, dass das enstehende LGS unendlich viele Lösungen hat? Wenn ja, bekomme ich das irgendwie nicht ganz hin. Außerdem gibt es die Konvergenssätze für (a)periodisch und irreduzible markov Ketten weshalb ich denke, dass man die Kette reduzible machen sollte. Hat es vielleicht etwas mit einem Fangzustand zu tun? Denn die einzige Kette die ich mit dieser Eigenschaft kenne ist das Ruinproblem welches zwei davon besitzt. Wäre über jeden Tipp sehr dankbar, Mfg


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zippy
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Mitteilungen: 2592
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-02

\quoteon(2021-08-02 16:50 - Ferdan im Themenstart) Muss man einfach dafür sorgen, dass das enstehende LGS unendlich viele Lösungen hat? \quoteoff Die Übergangsmatrix hat ja eine bestimmte Bedeutung. Es ist vermutlich einfacher, wenn du deine Überlegungen darauf aufbaust und nicht auf dem formalen Gleichungssystem. \quoteon(2021-08-02 16:50 - Ferdan im Themenstart) Ich habe bereits bestimmt, dass: Die Kette aperiodisch und irreduzible ist \quoteoff Wenn du bei deiner Lösung keine unerwähnt gebliebenen Einschränkungen beachten musst, würde es ja reichen, die Irreduzbilität zu zerstören. --zippy


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