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Mathematik » Analysis » Jacobi-Matrix, Urbilder
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Universität/Hochschule Jacobi-Matrix, Urbilder
Olli1208
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  Themenstart: 2021-08-04

Sei $D\subseteq \mathbb R^n$ offen und $f:D\rightarrow \mathbb R^n$ stetig differenzierbar mit invertierbarer Funktionalmatrix $J_f(x)$ in jedem $x\in D$. Zeigen Sie: a) Für jedes $y\in \mathbb R^n$ hat das Urbild $f^{-1}(\{y\})$ von $y$ keinen Häufungspunkt in $D$. b)Sei $K\subset D$ kompakt und $y\in \mathbb R^n$. Dann ist die Menge $f^{-1}(\{y\})\cap K$ endlich. Meine Überlegung zu a): Da die Jacobi-Matrix für alle $x\in D$ invertierbar ist, ist die Abbildung doch bijektiv. Also ist das Urbild jedes Elements einelementig. Bei b) komme ich leider nicht weiter.


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-04

\quoteon(2021-08-04 22:23 - Olli1208 im Themenstart) Meine Überlegung zu a): Da die Jacobi-Matrix für alle $x\in D$ invertierbar ist, ist die Abbildung doch bijektiv. \quoteoff Prominentes Gegenbeispiel: $D=\{(r,\varphi)\in\mathbb R^2:r>0\}$, $f(r,\varphi)=r\,(\cos\varphi,\sin\varphi)$, $f'(r,\varphi)= \begin{pmatrix}\cos\varphi&\sin\varphi\\ -r\sin\varphi&r\cos\varphi\end{pmatrix}$, $\det f'(r,\varphi)=r\ne0$ --zippy


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Olli1208
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-04

Dann versuche ich mal meine Idee zu korrigieren.Für jedes $x\in D$ ist die Jacobi-Matrix invertierbar, also gibt es offene Umgebungen $U\in D$ von $x$ und $V$ von $f(x)$, sodass $U$ bijektiv auf $V$ abgebildet wird. Hilft mir das für die Aufgabe weiter?


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-08-04

\quoteon(2021-08-04 22:49 - Olli1208 in Beitrag No. 2) Hilft mir das für die Aufgabe weiter? \quoteoff Ja.


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Olli1208
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-04

Könntest du mir einen Tip geben? [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
zippy
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-08-04

\quoteon(2021-08-04 22:54 - Olli1208 in Beitrag No. 4) Könntest du mir einen Tip geben? \quoteoff Nimm an, dass ein Häufungspunkt existiert, und zeige dann einen Widerspruch zur lokalen Bijektivität, die du in Beitrag Nr. 2 beschrieben hast.


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