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Analysis » Funktionentheorie » Was genau ist eine analytische Kurve?
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Universität/Hochschule Was genau ist eine analytische Kurve?
Pter87
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  Themenstart: 2021-08-18

In meinem Skript steht folgende Definition einer analytischen Kurve: Eine zusammenhängende Kurve $\Gamma \subset \hat{\mathbb{C}}$ heißt analytisch, falls eine injektive Parametrisierung $\gamma \colon [a,b)\to \Gamma$ existiert, die für jedes $t\in(a,b)$ eine injektive holomorphe Fortsetzung in eine Umgebung $B_{\delta}(t)$ mit $\delta = \delta(t)>0$ besitzt. Irgendwie ist mir diese Definition sehr abstrakt. Geht das vielleicht etwas anschaulicher?

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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-19

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, nun das bedeutet eben, dass die Kurve durch eine Parametrisierung gegeben ist, die lokal durch eine konvergente Potenzreihe gegeben ist. Alternativ könnte man auch sagen, dass die Kurve durch eine komplex-analytische Funktion eines reellen Parameters gegeben ist. Genau das bedeutet es ja, wenn sich die Parametrisierung zu einer holomorphen Abbildung fortsetzen lässt. Man fordert also eigentlich nur "noch mehr" Regularität von der Parametrisierung. Man hat dann z.B. eine Art Identitätssatz für diese Kurven. Sind $\Gamma_1$ und $\Gamma_2$ analytische Kurven mit unendlich vielen Schnittpunkten, so gilt $\Gamma_1=\Gamma_2$. LG Nico [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Funktionentheorie' von nzimme10]\(\endgroup\)

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