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Mathematik » Notationen, Zeichen, Begriffe » Notation der komplexen Zahlen nicht gerechtfertigt
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Universität/Hochschule Notation der komplexen Zahlen nicht gerechtfertigt
carlox
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  Themenstart: 2021-08-20

Hallo allerseits, Die Menge $\mathbb{C}:=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ mit den entsprechenden Verknüpfungen $\oplus$ und $\circledast $ ist der Körper der komplexen Zahlen. Damit kann man jede komplexe Zahl (x,y) darstellen als: $(x,y) = (x,0) \oplus i \circledast (y,0)$ Das ist mir alles so weit klar. Mir ist aber nicht klar, warum man dann die folgende Schreibweise rechtferigen kann: $(x,y) = x \oplus i \circledast y$ Gleichsetzen von x := (x,0) geht nicht (verstößt gegen ein Mengenaxiom) und "schlampige Darstellung" ist auch kein mathematisches Argument. Wer kann hier Klarheit schaffen? mfg cx


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-20

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Die Abbildung $$ \iota\colon \mathbb R\to \mathbb C, \ x\mapsto (x,0) $$ ist injektiv. Daher kann man ohne Probleme $x$ mit $(x,0)$ identifizieren. Das ist zwar wie du sagst "schlampig", wird aber so gemacht. LG Nico\(\endgroup\)


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carlox
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-20

\quoteon(2021-08-20 11:30 - nzimme10 in Beitrag No. 1) Die Abbildung $$ \iota\colon \mathbb R\to \mathbb C, \ x\mapsto (x,0) $$ ist injektiv. Daher kann man ohne Probleme $x$ mit $(x,0)$ identifizieren. Das ist zwar wie du sagst "schlampig", wird aber so gemacht. \quoteoff Es ist mathematisch nicht zulässig. Wie kann man es mathematisch korrekt rechtfertigen ? mfg cx


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-08-20

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Natürlich ist das mathematisch zulässig. Im mathematischen Alltag kommt sowas ständig vor. Du kannst ja auch die ganze Zeit $\iota(x)\oplus \i \odot \iota(y)$ schreiben, bis es dir zu anstrengend wird und du einsiehst, dass es sich lohnt etwas nachlässiger zu werden mit der Notation und das $\iota$ einfach unterdrücken. Solch einen "abuse of notation" kann man formal eigentlich nicht rechtfertigen. Man kann aber feststellen, dass es aufgrund der Injektivität der Abbildung "in Ordnung" ist. LG Nico\(\endgroup\)


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carlox
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-20

\quoteon(2021-08-20 11:34 - nzimme10 in Beitrag No. 3) Natürlich ist das mathematisch zulässig. Im mathematischen Alltag kommt sowas ständig vor. Du kannst ja auch die ganze Zeit $\iota(x)\oplus \i \odot \iota(y)$ schreiben, bis es dir zu anstrengend wird und du einsiehst, dass es sich lohnt etwas nachlässiger zu werden mit der Notation und das $\iota$ einfach unterdrücken. \quoteoff Dass dies im mathematisch Alltag ständig vorkommt, ist kein Argument dafür, dass es mathematisch korrekt ist. mfg cx


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nzimme10
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-08-20

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2021-08-20 11:37 - carlox in Beitrag No. 4) \quoteon(2021-08-20 11:34 - nzimme10 in Beitrag No. 3) Natürlich ist das mathematisch zulässig. Im mathematischen Alltag kommt sowas ständig vor. Du kannst ja auch die ganze Zeit $\iota(x)\oplus \i \odot \iota(y)$ schreiben, bis es dir zu anstrengend wird und du einsiehst, dass es sich lohnt etwas nachlässiger zu werden mit der Notation und das $\iota$ einfach unterdrücken. \quoteoff Dass dies im mathematisch Alltag ständig vorkommt, ist kein Argument dafür, dass es mathematisch korrekt ist. \quoteoff Ich weiß nicht, was du dann hören willst. Meine bisherigen Antworten erklären dir, warum man für komplexe Zahlen einfach $x+\i y$ schreibt bei dieser von dir genannten Konstruktion. Formal ist das natürlich nicht ganz richtig aber die Injektivität der Abbildung $\iota$ ist der Grund warum man es so macht. Wenn dir das nicht reicht oder du das ungenau findest, dann musst du eventuell eine andere Konstruktion / Definition der komplexen Zahlen hernehmen oder immer $(x,0)+\i(y,0)$ schreiben. LG Nico\(\endgroup\)


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DerEinfaeltige
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-08-20

\quoteon(2021-08-20 11:37 - carlox in Beitrag No. 4) Dass dies im mathematisch Alltag ständig vorkommt, ist kein Argument dafür, dass es mathematisch korrekt ist. \quoteoff Dann definiere die Abkürzung eben. Das macht man in allen Bereichen genauso und es ist hier nicht mehr oder weniger korrekt als andere "schlampige" Abkürzungen wie bspw. das von dir verwendete $x$ statt $1\cdot x^1$. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]


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Kezer
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-08-20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\) Dann definiere eben \[ \CC = \R \sqcup i \R \sqcup \{x+iy : x,y \in \R \} \] wobei das alles formale Symbole seien und definiere die gewöhnlichen Rechenregeln. Du kannst nachrechnen, dass das ein Körper ist und isomorph zu deiner $\R \times \R$ Definition ist. Aber naja, man benutzt Abkürzungen überall: Wieso bist du hier unzufrieden, ich vermute mal aber, dass du z.B. die Zahl $1$ als ganze Zahl und auch als rationale Zahl und auch als reelle Zahl benutzt. Je nach Definition sind rationale Zahlen definiert durch Paare $(p,q)$ und reelle Zahlen z.B. durch Cauchyfolgen/Dedekind-Schnitte/etc. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]\(\endgroup\)


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nzimme10
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-08-20

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2021-08-20 11:51 - Kezer in Beitrag No. 7) Je nach Definition sind rationale Zahlen definiert durch Paare $(p,q)$ und reelle Zahlen z.B. durch Cauchyfolgen/Dedekind-Schnitte/etc. \quoteoff Um hier nochmal etwas zu ergänzen. Du schreibst im Themenstart, dass es der Körper der komplexen Zahlen ist. Hier fängt es eigentlich auch schon mit Identifikationen an. Dieser Körper ist nämlich nur bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt und etwas uneindeutiges möchte man eigentlich nicht definieren. Wie Kezer mit einer alternativen Konstruktion schon erläutert hat ist das eine weitere (zwar nicht formal saubere aber plausible) Rechtfertigung für diese Identifikation: Die resultierenden mathematischen Strukturen sind als Körper isomorph. Wie Kezer schon angemerkt hat macht man das bei der Definition der reellen Zahlen auch schon so. Bei uns damals in Analysis I hieß es z.B. in etwa: "Es gibt einen, bis auf Isomorphie eindeutig bestimmten, vollständig archimedisch angeordneten Körper. Wir nennen "ihn" daher den Körper der reellen Zahlen". LG Nico\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-08-20

\quoteon(2021-08-20 11:42 - nzimme10 in Beitrag No. 5) oder immer $(x,0)+\i(y,0)$ schreiben. \quoteoff Das ist ja eigentlich auch nicht korrekt. Es wird ja i = (0, 1) definiert. Deshalb müsste man m. E. (x, 0) + yi schreiben.


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tactac
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  Beitrag No.10, eingetragen 2021-08-20

Siehe auch: https://xenaproject.wordpress.com/2020/04/30/the-invisible-map/ [Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]


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nzimme10
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  Beitrag No.11, eingetragen 2021-08-20

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2021-08-20 12:29 - StrgAltEntf in Beitrag No. 9) \quoteon(2021-08-20 11:42 - nzimme10 in Beitrag No. 5) oder immer $(x,0)+\i(y,0)$ schreiben. \quoteoff Das ist ja eigentlich auch nicht korrekt. Es wird ja i = (0, 1) definiert. Deshalb müsste man m. E. (x, 0) + yi schreiben. \quoteoff Ich habe $\i$ als Symbol für $(0,1)$ verwendet. Ich habe das Multiplikationssymbol aber unterdrückt. Ich wollte eigentlich $(x,0)\oplus \i \odot (y,0)$ schreiben. Mit $$ (x_1,y_1)\odot(x_2,y_2):=(x_1x_2-y_1y_2,x_1y_2+x_2y_1) $$ gilt dann ja $$ \i\odot(y,0)=(0,1)\odot(y,0)=(0\cdot y-1\cdot 0,0\cdot 0+y\cdot 1)=(0,y). $$ Also insgesamt $$ (x,0)\oplus \i\odot (y,0)=(x,y), $$ wie gewünscht. Man sollte hier beachten, dass wir $\mathbb C$ in dieser Konstruktion zunächst als $\mathbb R$-Vektorraum behandeln ($\mathbb R^2$ eben) und daher zunächst keine skalare Multiplikation mit $\i$ erklärt ist. Edit: Vermutlich meintest du aber, dass es als skalare Multiplikation mit $y$ geschrieben werden muss? Die Multiplikation in $\mathbb C$ ist aber gerade so definiert, dass da natürlich das selbe dabei rauskommt am Ende. LG Nico\(\endgroup\)


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carlox
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-20

\quoteon(2021-08-20 11:51 - Kezer in Beitrag No. 7) Dann definiere eben \[ \CC = \R \sqcup i \R \sqcup \{x+iy : x,y \in \R \} \] wobei das alles formale Symbole seien und definiere die gewöhnlichen Rechenregeln. Du kannst nachrechnen, dass das ein Körper ist und isomorph zu deiner $\R \times \R$ Definition ist. \quoteoff Du definierst Symbole als Zeichenfolgen. Die Idee finde ich gut. Speziell die Zeichenfolgen "x+iy" enthalten das Zeichen +, das nicht mit dem Verknüpfungssymbol + (also einer Abbildung) verwechselt werden darf. $ i \mathbb{R}$ ist die Menge aller Zeichenfolgen der Form ir, wobei r eine reelle Zahl ist. Frage: Was bedeutet $\sqcup$ ? Wäre Folgendes nicht besser: $ \mathbb{C} = \mathbb{R} \cup i \mathbb{R} \cup \{x+iy : x,y \in \mathbb{R} \} $ mfg cx


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nzimme10
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  Beitrag No.13, eingetragen 2021-08-20

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2021-08-20 14:40 - carlox in Beitrag No. 12) Was bedeutet $\sqcup$ ? \quoteoff Das bedeutet disjunkte Vereinigung. Also $A\sqcup B$ beinhaltet die Information, dass $A\cap B=\emptyset$. LG Nico\(\endgroup\)


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carlox
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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-20

\quoteon(2021-08-20 15:24 - nzimme10 in Beitrag No. 13) \quoteon(2021-08-20 14:40 - carlox in Beitrag No. 12) Was bedeutet $\sqcup$ ? \quoteoff Das bedeutet disjunkte Vereinigung. Also $A\sqcup B$ beinhaltet die Information, dass $A\cap B=\emptyset$. \quoteoff Danke für die Info. Dann gilt: $ \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ Dies würde bei $ \mathbb{C} := \mathbb{R} \times \mathbb{R} $ nicht gelten. siehe Beitrag Nr. 15 in: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/printtopic.php?topic=246166&load_mathjax=1 mfg cx


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nzimme10
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  Beitrag No.15, eingetragen 2021-08-20

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2021-08-20 15:39 - carlox in Beitrag No. 14) \quoteon(2021-08-20 15:24 - nzimme10 in Beitrag No. 13) \quoteon(2021-08-20 14:40 - carlox in Beitrag No. 12) Was bedeutet $\sqcup$ ? \quoteoff Das bedeutet disjunkte Vereinigung. Also $A\sqcup B$ beinhaltet die Information, dass $A\cap B=\emptyset$. \quoteoff Danke für die Info. Dann gilt: $ \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ Dies würde bei $ \mathbb{C} := \mathbb{R} \times \mathbb{R} $ nicht gelten. siehe Beitrag Nr. 15 in: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/printtopic.php?topic=246166&load_mathjax=1 mfg cx \quoteoff Genau. Bei deiner Konstruktion ist $\mathbb R$ dann keine Teilmenge von $\mathbb C$. Da man $\mathbb R$ aber gerne als Unterkörper von $\mathbb C$ auffassen würde nutzt man die von mir oben angegebene Inklusion und identifiziert dann für gewöhnlich $x+\i 0$ mit $x$. Der Artikel, den tactac oben gesendet hat, passt zu diesem "Problem" wirklich gut, schau ihn dir eventuell mal an :) Allerdings auch hier wieder der pedantische Hinweis, dass auch $\mathbb R$ eigentlich nur bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist und wir auch aus der Menge der Paare $(x,0)$ einen Körper Isomorph zu $\mathbb R$ bauen können. LG Nico\(\endgroup\)


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carlox
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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-20

\quoteon(2021-08-20 15:44 - nzimme10 in Beitrag No. 15) Genau. Bei deiner Konstruktion ist $\mathbb R$ dann keine Teilmenge von $\mathbb C$. Da man $\mathbb R$ aber gerne als Unterkörper von $\mathbb C$ auffassen würde nutzt man die von mir oben angegebene Inklusion und identifiziert dann für gewöhnlich $x+\i 0$ mit $x$. \quoteoff Welche von dir angegebene Inklusion in welchem Beitrag von dir meinst du ? PS: Da x+i0 und x Symbole sind, kann man diese als gleich definieren. also: x+i0 := x mfg cx


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tactac
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  Beitrag No.17, eingetragen 2021-08-20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\) $\sqcup$ kann man auch in dem Sinne als disjunkte Vereinigung auffassen, dass die "Summanden" extra disjunkt gemacht werden. Oder auch so ausgedrückt: Man kann an einem Element von $A \sqcup B$ sehen, ob es aus $A$ oder $B$ "stammt". Also z.B. $A \sqcup B := \{(0,a) \mid a \in A \} \cup \{(1,b) \mid b \in B\}$. $A \sqcup A$ "ist" dann praktisch $2 \times A$, weshalb man statt $\sqcup$ oft auch $+$ schreibt. Man kann es sich außerdem so denken, dass es Funktionen $\iota_1\colon A \to A\sqcup B$ und $\iota_2\colon B \to A \sqcup B$ gibt, die allerdings selten hingeschrieben werden (im Fall $A \sqcup A$ muss man sie aber hinschreiben). Die Elemente von $A \sqcup B$ sind alle von der Form $\iota_1(a)$ für $a \in A$ oder der Form $\iota_2(b)$ für $b\in B$. So ist zwar $a \in A$ nicht "gleich" $(0,a) \in A \sqcup B$, aber implizit durch $\iota_1$ konvertierbar, und "$a$" je nach Kontext eine Kurznotation für "$\iota_1(a)$". Und das ist nicht schlampig, sondern auch vernünftig formalisier- und automatisierbar. Wünschenswert ebenso, denn die ganzen impliziten Konvertierungen will im Normalfall niemand lesen. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.15 begonnen.]\(\endgroup\)


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nzimme10
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  Beitrag No.18, eingetragen 2021-08-20

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2021-08-20 16:02 - carlox in Beitrag No. 16) Welche von dir angegebene Inklusion in welchem Beitrag von dir meinst du ? PS: Da x+i0 und x Symbole sind, kann man diese als gleich definieren. also: x+i0 := x \quoteoff Ich spreche hier nach wie vor von deiner ursprünglich angegebenen Konstruktion von $\mathbb C$ und nicht von der von Kezer. Die Inklusion habe ich in Beitrag #1 angegeben. Aber nun wiederholen wir uns fast schon. Es ist denke ich alles schonmal gesagt worden. LG Nico\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.19, eingetragen 2021-08-20

\quoteon(2021-08-20 14:40 - carlox in Beitrag No. 12) $ i \mathbb{R}$ ist die Menge aller Zeichenfolgen der Form ir, wobei r eine reelle Zahl ist. \quoteoff Wie meinst du das? Soll x die ggf. nicht endende Dezimaldarstellung einer reellen Zahl sein? Ich habe das Gefühl, du machst dir das Leben absichtlich schwer.


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carlox
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\quoteon(2021-08-20 16:51 - StrgAltEntf in Beitrag No. 19) \quoteon(2021-08-20 14:40 - carlox in Beitrag No. 12) $ i \mathbb{R}$ ist die Menge aller Zeichenfolgen der Form ir, wobei r eine reelle Zahl ist. \quoteoff Wie meinst du das? Soll x die ggf. nicht endende Dezimaldarstellung einer reellen Zahl sein? Ich habe das Gefühl, du machst dir das Leben absichtlich schwer. \quoteoff Welches x meinst du ? Wie wird $ i \mathbb{R}$ definiert? Wo ist mein Denkfehler ? "Ich habe das Gefühl, du machst dir das Leben absichtlich schwer." Nicht absichtlich, aber meine mathematischen Skrupel melden sich und ich will mich damit auseinandersetzen. mfg cx


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Triceratops
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  Beitrag No.21, eingetragen 2021-08-20

Ich habe dazu einen ganz anderen Standpunkt (den ich auch schon in vielen anderen Beiträgen beschrieben habe, zuletzt hier). $x \in \IR$ ist nicht dasselbe wie das Bild $\iota(x) \in \IC$, wobei $\iota : \IR \to \IC$ die kanonische Einbettung ist. Es besteht keine Notwendigkeit (und ist auch potenziell verwirrend - sonst gäbe es diesen Thread nicht), $\iota(x)$ mit $x$ abzukürzen. Im Gegenteil, es ist sogar ziemlich praktisch, auch allgemein, Identifikationen nicht in der Notation zu unterschlagen. Noch weniger sind umständliche mengentheoretische Konstruktionen nötig wie die in Beitrag No. 7 (die im übrigen fehlerhaft ist). Der strukturell richtige und auch praktische Begriff der Teilmenge ist: eine Teilmenge von $X$ ist eine injektive Abbildung $\iota : Y \hookrightarrow X$. Wir verlangen nicht, dass $\iota(y)=y$ gilt, und es gibt auch keine Notwendigkeit, $\iota(y)$ mit $y$ abzukürzen, zumal es ja mehrere injektive Abbildungen $Y \to X$ geben und es dann zu Inkonsistenzen kommen kann! Entsprechend: ein Teilring von $R$ ist ein injektiver Ringhomomorphismus $\iota : S \hookrightarrow R$, usw. In diesem Sinne ist $\iota : \IR \hookrightarrow \IC$ ein Teilkörper. Jede komplexe Zahl hat außerdem die eindeutige Darstellung $\iota(x) + \mathrm{i} \cdot \iota(y)$ mit zwei reellen Zahlen $x,y \in \IR$. Außerdem gilt $\mathrm{i}^2=-1$. Das reicht völlig aus, um mit komplexen Zahlen zu rechnen. Wenn man das noch kürzer schreiben möchte, kann man die $\IR$-Modulstruktur auf $\IC$ nutzen, die durch $r \cdot z := \iota(r) \cdot z$ definiert ist. Dann ist also $\iota(x) + \mathrm{i} \cdot \iota(y)$ gleich $x \cdot 1 + y \cdot \mathrm{i}$. Dass man $x \cdot 1$ weiterhin mit $x$ "abkürzt", rächt sich spätestens bei anderen $\IR$-Algebren, zum Beispiel $\mathrm{End}(V)$ für einen reellen $\IR$-Vektorraum $V$. Was für ein Endomorphismus soll die reelle Zahl $x \in \IR$ sein? Nein, wir meinen den Endomorphismus $x \cdot 1 = x \cdot \mathrm{id}_V$.


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.22, eingetragen 2021-08-20

\quoteon(2021-08-20 20:00 - carlox in Beitrag No. 20) Wie meinst du das? Soll x die ggf. nicht endende Dezimaldarstellung einer reellen Zahl sein? \quoteoff Welches x meinst du ? \quoteoff Ich meinte das r 🙃


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carlox
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\quoteon(2021-08-20 16:14 - tactac in Beitrag No. 17) $A \sqcup A$ "ist" dann praktisch $2 \times A$,weshalb man statt $\sqcup$ oft auch $+$ schreibt. \quoteoff $A \sqcup A$ ist m.M. nach nicht korrekt, da A zu A disjunkt sein müßte. Da soll doch die Bedeutung von $\sqcup$ sein. Oder täusche ich mich da? mfg cx


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carlox
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  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-21

\quoteon(2021-08-20 12:02 - nzimme10 in Beitrag No. 8) Um hier nochmal etwas zu ergänzen. Du schreibst im Themenstart, dass es der Körper der komplexen Zahlen ist. Hier fängt es eigentlich auch schon mit Identifikationen an. Dieser Körper ist nämlich nur bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt und etwas uneindeutiges möchte man eigentlich nicht definieren. Wie Kezer mit einer alternativen Konstruktion schon erläutert hat ist das eine weitere (zwar nicht formal saubere aber plausible) Rechtfertigung für diese Identifikation: Die resultierenden mathematischen Strukturen sind als Körper isomorph. Wie Kezer schon angemerkt hat macht man das bei der Definition der reellen Zahlen auch schon so. \quoteoff Ja, der Körper der komplexen Zahlen ist nur bis auf Isomorphie eindeutig definiert. Ich suche aber nur eine formal begründete korrekte Schreibweise. Ich versuche diese unten vorzustellen. \quoteon(2021-08-20 11:51 - Kezer in Beitrag No. 7) Je nach Definition sind rationale Zahlen definiert durch Paare $(p,q)$ und reelle Zahlen z.B. durch Cauchyfolgen/Dedekind-Schnitte/etc. \quoteoff Mit Kezers Trick könnte man z.B. die Symbole $ \frac{p}{q} $ definieren mit $ \frac{p}{q} = (p,q)$ Hier die Formalisierung: Man definiert: 1) $ \mathbb{C} = \mathbb{R} \cup i \mathbb{R} \cup \{x+iy : x,y \in \mathbb{R} \} $ 2) $ x = ib :\Leftrightarrow x=0 \land b=0 $ $ x = a+ib :\Leftrightarrow x=a \land b=0 $ $ ib = iy :\Leftrightarrow b=y $ $ ib = x+iy :\Leftrightarrow x=0 \land b=y $ $ x+iy = a+ib :\Leftrightarrow x=a \land y=b $ 3) Die Verknüpfungen + und * werden wie folgt auf $ \mathbb{C} $ definiert: (man beachte, dass die Verknüpfung + mit dem gleichen Symbol bezeichnet wird wie das Zeichen + bei 1)) $x + y = x \oplus y$ wobei $\oplus$ auf $\mathbb{R}$ definiert ist. x + iy = x+iy x + a+ib = (x + a)+ib iy + x = x+iy iy + ib = i(y + b) iy + a+ib = a+i(y + b) x+iy + a = (x + a)+iy x+iy + ib = x+i(y + b) x+iy + a+ib = (x + a)+i(y + b) Ws meint ihr dazu? Ist das so formal korrekt bzw. was fehlt noch? mfg cx


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tactac
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  Beitrag No.25, eingetragen 2021-08-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\) \quoteon(2021-08-21 09:12 - carlox in Beitrag No. 23) \quoteon(2021-08-20 16:14 - tactac in Beitrag No. 17) $A \sqcup A$ "ist" dann praktisch $2 \times A$,weshalb man statt $\sqcup$ oft auch $+$ schreibt. \quoteoff $A \sqcup A$ ist m.M. nach nicht korrekt, da A zu A disjunkt sein müßte. Da soll doch die Bedeutung von $\sqcup$ sein. Oder täusche ich mich da? mfg cx \quoteoff Du täuschst dich. Lies den ganzen Beitrag.\(\endgroup\)


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nzimme10
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  Beitrag No.26, eingetragen 2021-08-21

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon $ \frac{p}{q} = (p,q)$ \quoteoff Hier sollte man eventuell besser $\tfrac pq$ als Äquivalenzklasse von solchen Paaren unter der Äquivalenzrelation $$ (p_1,q_1)\sim (p_2,q_2) :\Longleftrightarrow p_1q_2=p_2q_1 $$ definieren. Man möchte ja, dass z.B. $\tfrac 12$ und $\tfrac 24$ das gleiche ist. \quoteon Ich suche aber nur eine formal begründete korrekte Schreibweise \quoteoff Wenn das alles ist was du willst, dann wäre doch $(x,y)$ eine sinnvolle Schreibweise für eine komplexe Zahl. Als Addition nehmen wir die Vektoraddition auf $\mathbb R^2$ und als Multiplikation die aus Beitrag #11 und wir sind fertig. LG Nico\(\endgroup\)


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carlox
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  Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-22

\quoteon(2021-08-21 15:01 - nzimme10 in Beitrag No. 26) \quoteon $ \frac{p}{q} = (p,q)$ \quoteoff Hier sollte man eventuell besser $\tfrac pq$ als Äquivalenzklasse von solchen Paaren unter der Äquivalenzrelation $$ (p_1,q_1)\sim (p_2,q_2) :\Longleftrightarrow p_1q_2=p_2q_1 $$ definieren. Man möchte ja, dass z.B. $\tfrac 12$ und $\tfrac 24$ das gleiche ist. \quoteoff Du hast Recht. Das war von mir _schlampig_ und falsch. \quoteon \quoteon Ich suche aber nur eine formal begründete korrekte Schreibweise \quoteoff Wenn das alles ist was du willst, dann wäre doch $(x,y)$ eine sinnvolle Schreibweise für eine komplexe Zahl. Als Addition nehmen wir die Vektoraddition auf $\mathbb R^2$ und als Multiplikation die aus Beitrag #11 und wir sind fertig. \quoteoff Du hast Recht. Ich korrigiere mich: Ich will eine Begründung für die Schreibweise x+iy. Also Folgendes: Hier die Formalisierung: Man definiert: 1) $ \mathbb{C} = \mathbb{R} \cup i \mathbb{R} \cup \{x+iy : x,y \in \mathbb{R} \} $ 2) $ x = ib :\Leftrightarrow x=0 \land b=0 $ $ x = a+ib :\Leftrightarrow x=a \land b=0 $ $ ib = iy :\Leftrightarrow b=y $ $ ib = x+iy :\Leftrightarrow x=0 \land b=y $ $ x+iy = a+ib :\Leftrightarrow x=a \land y=b $ 3) Die Verknüpfungen + und * werden wie folgt auf $ \mathbb{C} $ definiert: (man beachte, dass die Verknüpfung + mit dem gleichen Symbol bezeichnet wird wie das Zeichen + bei 1)) $x + y = x \oplus y$ wobei $\oplus$ auf $\mathbb{R}$ definiert ist. x + iy = x+iy x + a+ib = (x + a)+ib iy + x = x+iy iy + ib = i(y + b) iy + a+ib = a+i(y + b) x+iy + a = (x + a)+iy x+iy + ib = x+i(y + b) x+iy + a+ib = (x + a)+i(y + b) Was meint ihr dazu? Ist das so formal korrekt bzw. was fehlt noch? mfg cx


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nzimme10
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  Beitrag No.28, eingetragen 2021-08-22

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2021-08-22 09:43 - carlox in Beitrag No. 27) Ist das so formal korrekt bzw. was fehlt noch? \quoteoff Wenn ich mich nicht irre fehlt noch die Multiplikation? Eine weitere (ich hoffe du stimmst zu: formal korrekte) Konstruktion: Wenn du nicht ganz so viel Aufwand betreiben willst, dann könntest du $$ \mathbb C:=\mathbb R[X]/\langle X^2+1\rangle $$ definieren. Dabei ist $\langle X^2+1\rangle$ das von $X^2+1$ erzeugte Ideal. Ist $\pi$ die kanonische Projektion $\mathbb R[X]\twoheadrightarrow \mathbb R[X]/\langle X^2+1\rangle$, so setze $\i:=\pi(X)$. Für jedes Polynom $p(X)\in \mathbb R[X]$ gibt es dann ein Polynom $q(X)\in \mathbb R[X]$ und reelle Zahlen $a,b\in \mathbb R$ derart, dass $$ p(X)=q(X)(X^2+1)+a+bX $$ gilt. Daher lässt sich dann jedes Element von $\mathbb C$ als $a+b\i$ schreiben. Die Operationen auf $\mathbb C$ kommen von der Ringstruktur von $\mathbb R[X]$. Nun kann man sich noch leicht überlegen, dass der Quotient sogar ein Körper ist, da $\langle X^2+1\rangle$ ein maximales Ideal ist. LG Nico\(\endgroup\)


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carlox
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\quoteon(2021-08-22 10:01 - nzimme10 in Beitrag No. 28) Wenn ich mich nicht irre fehlt noch die Multiplikation? \quoteoff Stimmt, das habe ich vergessen zu notieren. \quoteon Eine weitere (ich hoffe du stimmst zu: formal korrekte) Konstruktion: Wenn du nicht ganz so viel Aufwand betreiben willst, dann könntest du ... \quoteoff Oh... Das ist mir gerade etwas zu hoch. Es ist schon sehr lange her, dass ich mich tiefer mit Algebra beschäftigt habe. Ich habe noch ein Problem: Wie kann man in meiner Formalisierung noch die "Polarkoordinaten" unterbringen:, d.h, was rechtfertigt Folgendes: Für alle $x,y \in \mathbb{R}$ mit x+iy ungleich 0 existiert genau ein $r \in \mathbb{R}$ und es existiert ein $\phi \in \mathbb{R}$ mit: $x+iy = r \cdot \cos(\phi)+i(r \cdot \sin(\phi))$ Wenn man dagegen komplexe Zahlen in der Form (x,y) angibt, ist das kein Problem, denn in der Analysis gibt es sicher einen Satz der Form: Für alle $(x,y)\in \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ mit (x,y) ungleich (0,0) existiert genau ein $r \in \mathbb{R}$ und es existiert ein $\phi \in \mathbb{R}$ mit: $(x,y) = (r \cdot \cos(\phi), r \cdot \sin(\phi))$ mfg cx


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nzimme10
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  Beitrag No.30, eingetragen 2021-08-22

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, ich denke es wäre sinnvoll zunächst die komplexe Konjugation zu definieren. Darüber erhälst du ein Skalarprodukt auf $\mathbb C$ und kannst damit wiederum den Betrag und die (eine) Argumentfunktion definieren. Da wirst du aber unweigerlich einige Fallunterscheidungen machen müssen, so wie du das jetzt gehandhabt hast. LG Nico\(\endgroup\)


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carlox
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  Beitrag No.31, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-23

\quoteon(2021-08-22 12:55 - nzimme10 in Beitrag No. 30) Hallo, ich denke es wäre sinnvoll zunächst die komplexe Konjugation zu definieren. \quoteoff I) Da ich die Multiplikation vergessen habe zu definieren und auch das Symbol i noch nicht in meiner früheren Definition der komplexen Zahlen vorkommt, hole ich das nach: Man definiert: 1) $ \mathbb{C} = \mathbb{R} \quad \cup \quad i \mathbb{R} \quad \cup \quad \{x+iy : x,y \in \mathbb{R} \} \quad \cup \quad \{i\} $ 2) $ x := ib \Leftrightarrow x=0 \land b=0 $ $ x := a+ib \Leftrightarrow x=a \land b=0 $ $ ib := iy \Leftrightarrow b=y $ $ ib := x+iy \Leftrightarrow x=0 \land b=y $ $ x+iy := a+ib \Leftrightarrow x=a \land y=b $ $ i := 0+i1$ 3) Die Verknüpfungen + und * werden wie folgt auf $ \mathbb{C} $ definiert: (man beachte, dass die Verknüpfung + mit dem gleichen Symbol bezeichnet wird wie das Zeichen + bei 1)) 3.1) $x \quad + \quad y = x \quad \oplus \quad y$ wobei $\oplus$ auf $\mathbb{R}$ definiert ist. $x \quad + \quad iy = x+iy$ $x \quad + \quad a+ib = (x \quad + \quad a)+ib$ $iy \quad + \quad x = x+iy$ $iy \quad + \quad ib = i(y \quad + \quad b)$ $iy \quad + \quad a+ib = a+i(y \quad + \quad b)$ $x+iy \quad + \quad a = (x \quad + \quad a)+iy$ $x+iy \quad + \quad ib = x+i(y \quad + \quad b)$ $x+iy \quad + \quad a+ib = (x \quad + \quad a)+i(y \quad + \quad b)$ 3.2) $i \cdot i = -1$ $x \quad \cdot \quad y = x \quad \times \quad y$ wobei $\times$ auf $\mathbb{R}$ definiert ist. $x \quad \cdot \quad iy = i(x \quad \cdot \quad y)$ $x \quad \cdot \quad a+ib = (x \quad \cdot \quad a)+i(x \quad \cdot \quad b)$ $iy \quad \cdot \quad x = i(y \quad \cdot \quad x)$ $iy \quad \cdot \quad ib = (i \quad \cdot \quad i) \quad \cdot \quad (y \quad \cdot \quad b)$ $iy \quad \cdot \quad a+ib = i(y \quad \cdot \quad a) \quad + \quad (iy \quad \cdot \quad ib)$ $x+iy \quad \cdot \quad a = (x \quad \cdot \quad a) \quad + \quad (iy \quad \cdot \quad a)$ $x+iy \quad \cdot \quad ib = (x \quad \cdot \quad ib) \quad + \quad (iy \quad \cdot \quad ib)$ $x+iy \quad \cdot \quad a+ib =$ $(x \quad \cdot \quad a) \quad + \quad (x \quad \cdot \quad ib) \quad + \quad (iy \quad \cdot \quad a) \quad + \quad (iy \quad \cdot \quad ib)$ II) Zu den Polarkoordinaten. Kann man das nicht einfach wie folgt machen: Da gilt: $x=\sqrt{x^2+y^2} \cdot \cos(\tan^{-1}(y/x)+k \cdot 2\pi)$ und $y=\sqrt{x^2+y^2} \cdot \sin(\tan^{-1}(y/x)+k \cdot 2\pi)$ und $ x+iy = a+ib \Leftrightarrow x=a \land y=b $ folgt: $x+iy = \sqrt{x^2+y^2} \cdot \cos(\tan^{-1}(y/x)+k \cdot 2\pi) + i(\sqrt{x^2+y^2} \cdot \sin(\tan^{-1}(y/x)+k \cdot 2\pi))$ Also folgt: Für alle $x,y \in \mathbb{R}$ mit x+iy ungleich 0 existiert genau ein $r \in \mathbb{R}$ und es existiert ein $\phi \in \mathbb{R}$ mit: $x+iy = r \cdot \cos(\phi)+i(r \cdot \sin(\phi))$ Was meint ihr dazu ? mfg cx


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  Beitrag No.32, eingetragen 2021-08-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\) Hallo carlox, nicht viel. Zu 1): Du definierst \(i\) nicht. Du nutzt es einfach so. Zu 2) (letzte Zeile): Du definierst \(i\) unter Verwendung von \(i\). Das geht nicht. mfg thureduehrsen\(\endgroup\)


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  Beitrag No.33, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-23

\quoteon(2021-08-23 14:38 - thureduehrsen in Beitrag No. 32) Zu 1): Du definierst \(i\) nicht. Du nutzt es einfach so. \quoteoff i ist einfach nur ein Symbol. Ich darf Symbole verwenden. Die komplexen Zahlen definiere ich als eine Menge von Symbolen. (nach der Idee von kezer). \quoteon Zu 2) (letzte Zeile): Du definierst \(i\) unter Verwendung von \(i\). Das geht nicht. \quoteoff Doch: i ist ein Symbol und 0+i1 ist auch ein Symbol. Und die sollen gleich sein. mfg cx


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  Beitrag No.34, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-25

\quoteon(2021-08-20 21:32 - Triceratops in Beitrag No. 21) Noch weniger sind umständliche mengentheoretische Konstruktionen nötig wie die in Beitrag No. 7 (die im übrigen fehlerhaft ist). \quoteoff \quoteon(2021-08-23 14:38 - thureduehrsen in Beitrag No. 32) Hallo carlox, nicht viel. Zu 1): Du definierst \(i\) nicht. Du nutzt es einfach so. Zu 2) (letzte Zeile): Du definierst \(i\) unter Verwendung von \(i\). Das geht nicht. mfg thureduehrsen \quoteoff Der interessante Beitrag von Triceratops (so wie ich ihn verstanden habe) zielt in Richtung Kategorientheorie und ist mir aktuell ein paar Ebenen zu hoch. Ich bleibe hier auf der Ebene der Mengenlehre ZFC. Eure Beiträge haben mich irritiert. Warum ist der Beitrag Nr. 7 fehlerhaft ? Kann man die komplexen Zahlen nicht so definieren? $ \mathbb{C} = \mathbb{R} \quad \cup \quad i \mathbb{R} \quad \cup \quad \{x+iy : x,y \in \mathbb{R} \} \quad \cup \quad \{i\} $ Verstößt das gegen die Mengenbildung von ZFC ? mfg cx


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  Beitrag No.35, eingetragen 2021-08-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\) Hallo, \quoteon(2021-08-25 10:30 - carlox in Beitrag No. 34) Kann man die komplexen Zahlen nicht so definieren? $ \mathbb{C} = \mathbb{R} \quad \cup \quad i \mathbb{R} \quad \cup \quad \{x+iy : x,y \in \mathbb{R} \} \quad \cup \quad \{i\} $ Verstößt das gegen die Mengenbildung von ZFC ? mfg cx \quoteoff warum so kompliziert? Mache dir klar, dass \[\mathbb{R} \subseteq \{x+iy : x,y \in \mathbb{R} \}\] und \[i\,\mathbb{R}\subseteq \{x+iy : x,y \in \mathbb{R} \}\] und \[\{i\}\subseteq \{x+iy : x,y \in \mathbb{R} \}\] gelten. mfg thureduehrsen \(\endgroup\)


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carlox
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  Beitrag No.36, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-26

\quoteon(2021-08-25 13:16 - thureduehrsen in Beitrag No. 35) warum so kompliziert? Mache dir klar, dass \[\mathbb{R} \subseteq \{x+iy : x,y \in \mathbb{R} \}\] und \[i\,\mathbb{R}\subseteq \{x+iy : x,y \in \mathbb{R} \}\] und \[\{i\}\subseteq \{x+iy : x,y \in \mathbb{R} \}\] gelten. \quoteoff Das gilt weil ich in meinem Beitrag 31 Einiges vorausgesetzt habe. Daraus folgt u.a: 1) $ i := 0+i1$, also \[\{i\}\subseteq \{x+iy : x,y \in \mathbb{R} \}\] 2) $i \quad \cdot \quad x =$ $ (0+i1) \quad \cdot \quad x=$ $0 \quad \cdot \quad x \quad + \quad i1 \quad \cdot x = $ $0 \quad + \quad i(1 \quad \cdot \quad x) = $ $0 \quad + \quad ix = ix$, also: \[i\,\mathbb{R}\subseteq \{x+iy : x,y \in \mathbb{R} \}\] mfg cx


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  Beitrag No.37, eingetragen 2021-08-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\) Hallo, in Punkt 2 "zeigst" du, dass \[i\cdot x = ix\] gilt. Versuche dich doch mal an der Winkeldreiteilung. mfg thureduehrsen\(\endgroup\)


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  Beitrag No.38, eingetragen 2021-08-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\) Mal ein ganz wichtiger Hinweis: Die Frage, wie man eine Aussage wie "Alle $z \in \IC$ haben die Form $z = x + \mathrm iy$ mit $x,y \in \IR$." rechtfertigen kann, ist zu einem großen Teil eine Notationsfrage. Sie sollte idealerweise keinen Einfluss darauf haben, wie die Elemente (einer Implementierung) von $\IC$ aussehen. Vor allem sollte man auch nicht versuchen, $\IC$ als Menge von Notationsinstanzen zu definieren. Und ein buchstäblich geltendes $\IR \subseteq \IC$ ist auch in hohem Maße unwichtig.\(\endgroup\)


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carlox
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  Beitrag No.39, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-28

\quoteon(2021-08-27 23:39 - tactac in Beitrag No. 38) Mal ein ganz wichtiger Hinweis: Die Frage, wie man eine Aussage wie "Alle $z \in \IC$ haben die Form $z = x + \mathrm iy$ mit $x,y \in \IR$." rechtfertigen kann, ist zu einem großen Teil eine Notationsfrage. Sie sollte idealerweise keinen Einfluss darauf haben, wie die Elemente (einer Implementierung) von $\IC$ aussehen. Vor allem sollte man auch nicht versuchen, $\IC$ als Menge von Notationsinstanzen zu definieren. Und ein buchstäblich geltendes $\IR \subseteq \IC$ ist auch in hohem Maße unwichtig. \quoteoff Hallo tactac, "Sie sollte idealerweise keinen Einfluss darauf haben, wie die Elemente (einer Implementierung) von $\IC$ aussehen." Das "Aussehen" (was meinst du damit) musst du ja auch _darstellen_. Dazu braucht man eine Notation. Ich verstehe nicht genau was du meinst. mfg cx


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