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| Autor |
  Definition des komplexen Logarithmus |
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Pter87
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 09.11.2018
Mitteilungen: 425
 |  Themenstart: 2021-08-28
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Hallo,
ich wollte hier nochmal nachfragen, ob ich die Definition des komplexen Logarithmus richtig verstanden habe, weil irgendwie auf gefühlt jeder Seite irgendwas anderes bzgl. des Hauptzweigs des Logarithmus steht. Auf manchen Seiten wird der Loagrithmus auf $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ definiert und auf anderen auf $\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_{\leq 0}$
Ich hab das folgendermaßen verstanden:
Man "kann" den Logarithmus auf $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ definieren. Wir haben den Logarithmus definiert als $Log(z)= log|z|+iArg(z)$ mit $Arg(z)\in (-\pi,\pi]$
Mit dieser Funktion ist der Logarithmus ja eindeutig bestimmt und es gilt $Log(\mathbb{C}\setminus\{0\}) = \{-\pi < Im(z) \leq \pi\}$
Es gibt allerdings für jede Menge $\{a < Im(z) \leq a+2\pi\}$ eine valide Logarithmusfunktion deren Bild unter $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ genau dieser Menge entspricht. Für die Argumentfunktion gilt ja dann $arg(z)\in (a,a+2\pi]$.
Unter Hauptzweig des Logarithmus verstehe ich jetzt die eine Logarithmusfunktion mit $Arg(z) \in (-\pi, \pi]$.
So und jetzt zu der Sache, wieso manche den Logarithmus direkt auf $\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_{\leq 0}$ definieren.
Wenn man sich den Hauptzweig ansieht und sich einem Punkt $x$ der negativen reellen Achse nähert, einmal von oben und einmal von unten, dann wird man festellen, dass sich die entsprechenden Bildfolge einmal $\{Im(z)=\pi\}$ und einmal $\{Im(z)=-\pi\}$ nähern. $\Rightarrow$ Der Logarithmus ist auf $\mathbb{R}_{\leq 0}$ nicht stetig!
Nimmt man die negative relle Achse zusätzlich noch weg, dann ist $Log(z)$ nicht nur stetig sondern tatsächlich auch holomorph auf $\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_{\leq 0}$ (das folgt soweit ich weiß, direkt aus der Tatsache, dass $f(z)=e^z$ auf $\{-\pi < Im(z) < \pi\}$ insbesondere konform ist und damit auf $f(\{-\pi < Im(z) < \pi\})= \mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_{\leq 0}$ eine holomorphe Umkehrfunktion besitzt.)
Ist das alles soweit richtig?
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StefanVogel
Senior 
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 4243
Wohnort: Raun
| Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-28
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Hallo Pter87,
ja, um den komplexen Logarithmus als Funktion definieren zu können, muss man die Null aus der komplexen Ebene herausnehmen, und wenn die Funktion stetig sein soll, auch noch irgendeine von 0 ausgehende Kurve bis ins Unendliche. Dann ist die Funktion sogar holomorph. Die zweite Gleichung würde ich so schreiben:
\(\operatorname{Im}(\operatorname{Log}(\mathbb{C}\setminus\{0\}) = \{-\pi < \operatorname{Im}(z) \leq \pi\}\)
Viele Grüße,
Stefan
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Pter87
Wenig Aktiv
Dabei seit: 09.11.2018
Mitteilungen: 425
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-03
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Danke für die Antwort.
Ich hätte noch eine Frage zu der Potenzfunktion $z^a, a\in\mathbb{C}$ welche man dann mit dem Logarithmus definieren kann als $z^a = e^{a\cdot log(z)}$.
In meinem Skript steht, dass in dem Fall zwingend $z\in \mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_{\leq 0}$ sein muss, also wenn der Hauptzweig verwendet wird. Was ist das Problem, wenn ich Werte aus $\mathbb{R}_{\leq 0}$ wähle? Log(z) ist dann nicht stetig aber für die Definition ist das doch nicht problematisch oder?
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2206
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.3, eingetragen 2021-09-04
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
\quoteon(2021-09-03 22:32 - Pter87 in Beitrag No. 2)
In meinem Skript steht, dass in dem Fall zwingend $z\in \mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_{\leq 0}$ sein muss, also wenn der Hauptzweig verwendet wird. Was ist das Problem, wenn ich Werte aus $\mathbb{R}_{\leq 0}$ wähle?
\quoteoff
Der Hauptzweig des Logarithmus ist per definitionem der Zweig des Logarithmus, der auf $\mathbb C\setminus \mathbb R_{\leq 0}$ holomorph ist.
Wenn zur Definition der Potenzen also der Hauptzweig verwendet werden soll, dann kann man das eben nicht für Zahlen aus $\mathbb R_{\leq 0}$ definieren, da der Hauptzweig dort nicht definiert ist. Man kann natürlich auch jeden anderen Strahl ausgehend von $0$ aus der Ebene entfernen, erhält dann aber eventuell andere Zweige des Logarithmus.
LG Nico
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Funktionentheorie' von nzimme10]\(\endgroup\)
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Pter87
Wenig Aktiv
Dabei seit: 09.11.2018
Mitteilungen: 425
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-06
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Pter87 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Pter87 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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