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 dim von V = span {7,e^t,e^(2t),e^(-3t)}? |
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ghxk
Junior 
Dabei seit: 26.02.2021
Mitteilungen: 16
 |  Themenstart: 2021-09-10
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Hallo zusammen
Könnte mir jemand sagen, welche Dimension der VR V=span{7,e^t,e^(2t),e^(-3t)} hat und wie ich dies beweisen kann.
Normalerweise hätte ich gesagt, dass dim(V)=4
Wenn ich allerdings für t=0 wählen darf, dann liegt 7 im span von {e^t,e^(2t),e^(-3t)}, oder?
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 Profil
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10689
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-10
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
es geht ja um Funktionen als ganzes. Insofern sind die Funktionswerte an der Stelle \(t=0\) hier irrelevant und \(\dim(V)=4\) ist richtig. Stichwort: lineare Unabhängigkeit.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Vektorräume' von Diophant]\(\endgroup\)
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ghxk
Junior
Dabei seit: 26.02.2021
Mitteilungen: 16
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-10
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Ich hätte das eben auch gesagt eigentlich. Eine weitere Teilaufgabe besagt aber, dass man zeigen soll, dass \phi:W->W gegeben durch f -> 3f+f'+f(0) ein Endomorphismus ist. Linearität ist klar, wenn ich aber beweisen will, dass die Abbildung von W->W geht, und ein v\el\ W wähle mit v=C1exp(t)+C2exp(2t)+C3(exp(-3t))+7C4 wähle und dann f(v) berechne, dann stelle ich fest, dass der Term mit exp(-3t) wegfällt, womit f(v) nicht in W liegen würde....Kann mir jemand erklären, was das Problem ist?
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10689
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-09-10
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Hallo,
könntest du bitte die Aufgabe im Originalwortlaut angeben. Sowohl \(W\) als auch \(f\) fallen hier vom Himmel.
(Außerdem scheint dir nicht klar zu sein, was ein Endomorphismus ist.)
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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ghxk
Junior
Dabei seit: 26.02.2021
Mitteilungen: 16
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-10
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Ja sorry, das V im ersten Beitrag entspricht W im zweiten und phi ist gleich f.
Der Wortlaut ist:
Sei W=span{7,e^t,e^2t,e^-3t} der lineare unterraum der reellwertigen differenzierbaren Funktionen.
Es sei phi:W->W gegeben durch f->3f+f'+f(0)
Aufgabe: Bestimmen Sie die Dimension von W und beweisen Sie dass die Abbildung phi ein Endomorphismus von W ist.
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10689
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.5, eingetragen 2021-09-10
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\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
da fehlt immer noch das eine oder andere. Kann es sein, dass irgendwo \(f\in W\) oder etwas in der Art gefordert wird?
Das macht doch ansonsten keinen Sinn, denn für eine beliebige differenzierbare Funktion liegt weder die Funktion noch \(\varphi\) in \(W\).
Wenn ich recht habe, dan benötigt man hier nicht mehr als \(f(0)\) und die erste Ableitung der e-Funktion...
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9728
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.6, eingetragen 2021-09-10
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo ghxk,
um die Dimension auszurechnen, kannst du beweisen., das die vier Funktionen linear unabhängig sind.
Annahme: \( \lambda_1 e^{2t}+\lambda_2 e^t +\lambda_7\cdot 7+\lambda_4 e^{-3t}=0\).
Ist dir klar, dass die \( \lambda\)-Werte unabhängig von \( t\) sein müssen?
Wenn ja, weise durch eine Grenzwertbetrachtung nach, dass \( \lambda_1=0\) ist.
Kommst du damit weiter?
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
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