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 Semantischer Beweis von Schlussregeln |
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idontknowhow10
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 |  Themenstart: 2021-09-11
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Hallo, ich verstehe den semantischen Beweis der Schlussregel nicht ganz. Ich kann ihn anwenden, aber würde gern die Logik dahinter verstehen.
Wir haben folgende Schlussregel und sollen zeigen, dass diese korrekt ist.
Eine Schlussregel heißt korrekt, wenn aus der Gültigkeit der Prämissen die Gültigkeit der Konklusion folgt.
(\Gamma,\zeta => \Delta,\not\ \phi \; \Gamma => \Delta,\zeta)/(\Gamma,\phi => \Delta,\psi)
Beweis aus meinem Tutorium:
Seien die Prämissen beide gültig. Wir zeigen, dass die Konklusion gültig ist.
Sei I\models \Gamma \union\ {\phi} ein Modell der linken Seite.
Wegen der Gültigkeit der zweiten Prämisse und I\models \Gamma folgt I \models \or\ \Delta oder I\models \zeta.
Falls I\models \or\ \Delta, sind wir fertig. (****)
Sonst gilt I\models \zeta , also wegen Gültigkeit der ersten Prämisse auch I\models\or\ \Delta oder I\models\not\ \phi.
Weil nach Voraussetzung I\models\phi, folgt I\models\or\ \Delta.
In jedem Fall erfüllt I eine Formel \delta\el\ \Delta, also ist die Konklusion gültig.
In der (****) markierten Zeile, was genau ist gemeint damit, dass wir dann fertig sind? Klar wir haben die Sequenz erfüllt, da auf der rechten Seite mindestens eine Formel erfüllt ist, aber müssen wir uns nicht erst noch die 1. Prämisse anschauen? Ich meine müssten wir nicht erst noch zeigen, dass unser Modell auch die 1. Prämisse erfüllt?
Denn könnte es nicht sein, dass zwar die zweite Prämisse mit der Interpretation erfüllt ist, die erste aber nicht?
Müssen nicht beide Prämissen durch ein Modell erfüllt sein damit die Konklusion gilt?
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tactac
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-11
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Der Beweis beginnt mit "Seien die Prämissen beide gültig". D.h., es wird angenommen, dass jede Interpretation die Prämissen erfüllt.
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idontknowhow10
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-11
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\quoteon(2021-09-11 22:36 - tactac in Beitrag No. 1)
Der Beweis beginnt mit "Seien die Prämissen beide gültig". D.h., es wird angenommen, dass jede Interpretation die Prämissen erfüllt.
\quoteoff
Das würde dann doch bedeuten, dass von Prämisse (1) \Gamma, \zeta erfüllt sind und von Prämisse (2) \Gamma erfüllt ist. Sprich jeweils die Antezedenten der Prämisse.
Aber im Beweis benutzen wir doch erst Prämisse (2) um dann zu zeigen, dass wenn unsere Interpretation nicht \Delta erfüllt, sie \zeta erfüllt und wir dann erst für die (1) Prämisse sagen können, dass sie \Delta oder \not\ \phi erfüllen muss.
Wenn jede Interpretation die Prämissen erfüllt, wo muss ich dann überhaupt noch was beweisen?
Um meine Frage ggf. etwas zu umformulieren.
Wenn wir 2 Prämissen haben, und wir haben eine Interpretation reicht es, wenn unsere Interpretation eine der beiden Prämissen erfüllt, um die Konklusion zu folgern? Sprich reicht es, wenn eine Prämisse wahr ist? Oder müssen beide Prämissen erfüllt sein um die Konklusion zu folgern?
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tactac
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-09-12
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Die Prämissen sind $\Gamma,\zeta \Rightarrow \Delta, \lnot \varphi$ und $\Gamma \Rightarrow \Delta, \zeta$.\(\endgroup\)
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StrgAltEntf
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Dabei seit: 19.01.2013
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 | Beitrag No.4, eingetragen 2021-09-12
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\quoteon(2021-09-11 20:43 - idontknowhow10 im Themenstart)
(\Gamma,\zeta => \Delta,\not\ \phi \; \Gamma => \Delta,\zeta)/(\Gamma,\phi => \Delta,\psi)
\quoteoff
Das verstehe ich ehrlich gesagt nicht. \(\zeta\) und \(\phi\) sind hier anscheinend Formeln und \(\Gamma\) und \(\Delta\) Formelmengen. Aber was bedeuten die Kommas? Und wo kommt plötzlich das \(\psi\) her? Ist das ein Element aus \(\Gamma\) oder \(\Delta\)?
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idontknowhow10
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-12
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\quoteon(2021-09-12 10:22 - StrgAltEntf in Beitrag No. 4)
\quoteon(2021-09-11 20:43 - idontknowhow10 im Themenstart)
(\Gamma,\zeta => \Delta,\not\ \phi \; \Gamma => \Delta,\zeta)/(\Gamma,\phi => \Delta,\psi)
\quoteoff
Das verstehe ich ehrlich gesagt nicht. \(\zeta\) und \(\phi\) sind hier anscheinend Formeln und \(\Gamma\) und \(\Delta\) Formelmengen. Aber was bedeuten die Kommas? Und wo kommt plötzlich das \(\psi\) her? Ist das ein Element aus \(\Gamma\) oder \(\Delta\)?
\quoteoff
Hallo, die Kommas sind bei uns kurzschreibweise für die Vereinigung. Semicolon in der ersten Zeile, dient nur als Leerzeichen, damit man sieht, dass es 2 verschiedene Prämissen sind.
Wie du schon gesehen hast wird das \psi nicht gebraucht. Es diente nur als kleine Falle, um zu schauen, dass die Studis es richtig verstanden haben.
Mit dem Rest deiner Annahmen, bezüglich Formeln und Formelmenge liegst du richtig.
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.6, eingetragen 2021-09-12
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\quoteon(2021-09-12 11:21 - idontknowhow10 in Beitrag No. 5)
Wie du schon gesehen hast wird das \psi nicht gebraucht. Es diente nur als kleine Falle, um zu schauen, dass die Studis es richtig verstanden haben.
\quoteoff
Aber es kann doch nicht sein, dass das für ein beliebiges \(\psi\), was mit dem Rest nichts zu hat, richtig sein soll. Was wäre denn mit \(\psi\equiv x\neq x\)?
EDIT: Jetzt sehe ich es: \(\Gamma\) und \(\phi\) können gar nicht gleichzeitig erfüllt werden, wenn die Prämissen erfüllt sind.
EDIT: Da ich eine andere Auffassung vom Zeichen \(\Rightarrow\) hatte, als es hier anscheinend der Fall ist (siehe nächster Beitrag) passen meine Antworten nicht.
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
tactac
Senior
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| Beitrag No.7, eingetragen 2021-09-13
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
\quoteon(2021-09-12 12:08 - StrgAltEntf in Beitrag No. 6)
EDIT: Jetzt sehe ich es: \(\Gamma\) und \(\phi\) können gar nicht gleichzeitig erfüllt werden, wenn die Prämissen erfüllt sind.
\quoteoff
Die Sequenzen der Form $\Gamma\Rightarrow\Delta$, um die es hier geht, sind als eine Art Implikation zu verstehen. Und zwar von der Konjunktion der Elemente von $\Gamma$ zur Disjunktion der Elemente von $\Delta$.
Darum gibt es üblicherweise die strukturelle Regeln (als linke und rechte Abschwächung bekannt, engl. weakening):
$$\begin{array}{rcl}\Gamma &\Rightarrow& \Delta\\\hline \Gamma &\Rightarrow& \Delta, \phi \end{array}
\quad\text{und}\quad
\begin{array}{lcl}\Gamma &\Rightarrow& \Delta\\\hline \Gamma,\phi &\Rightarrow& \Delta\end{array}$$\(\endgroup\)
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