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Analysis » Maßtheorie » σ-Algebra und Satz von Tonelli
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Universität/Hochschule σ-Algebra und Satz von Tonelli
LisaA
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  Themenstart: 2021-09-14

Hallo :) kann mir jemand vor allem beim ersten Teil dieser Übung helfen? Beim zweiten Teil habe ich unendlich erhalten, aber ich bin mir unsicher. Kann das stimmen? ------- Betrachte die Maßräume [latex]([0; 1]; B\mathbb R ;l)[/latex] y [latex]([0; 1]; B\mathbb R ; v)[/latex], wo l das Lebesgue-Maß ist und v das Zählmaß Es sei [latex]D = {(x, x) : x \in [0, 1]}.[/latex] 1. Zeige, dass [latex]D \in B\mathbb R \otimes B\mathbb R[/latex] 2. Berechne [latex]\int_{[0,1]} \int_{[0.1]} \! 1_D(x,y) \, dl(x)dv(y)[/latex] und [latex]\int_{[0,1]} \int_{[0.1]} \! 1_D(x,y) \, dv(y)dl(x)[/latex] Geben Sie an, ob das Erhaltene mit dem Satz von Tonelli übereinstimmt und begründen Sie Ihre Antwort eindeutig.

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semasch
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-16

Moin LisaA, ich nehme an, dass mit $B\mathbb{R}$ die übliche Borel'sche $\sigma$-Algebra $\mathfrak{B}$ von $\mathbb{R}$ bzw. mit $D$ die Diagonale im abgeschlossenen Einheitsquadrat gemeint ist. Zu (i): Verwende, dass $\mathfrak{B} \otimes \mathfrak{B} = \mathfrak{B}^2$ insbesondere alle abgeschlossenen Teilmengen von $\mathbb{R}^2$ beinhaltet. Zu (ii): Keines der beiden Doppelintegrale hat den Wert unendlich. Verwende, dass für $x,y \in [0,1]$ die Beziehung $1_D(x,y) = 1_{\{y\}}(x) = 1_{\{x\}}(y)$ gilt. Damit hast du z.B. für das erste Doppelintegral \[\int_{[0,1]} \int_{[0,1]} 1_D(x,y) d\lambda(x) d\nu(y) = \int_{[0,1]} \lambda(\{y\}) d\nu(y).\] Damit solltest du die Rechnungen hinbekommen. LG, semasch

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