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Mathematik » Analysis » Beweis gleichmäßiger Konvergenz
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Universität/Hochschule J Beweis gleichmäßiger Konvergenz
SergejGleitman
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  Themenstart: 2021-09-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}}\) Moin, Kann mir jemand folgende Ungleichung erklären: Sei $k\in\N$ und $z\in\C\setminus \mathrm{i}\N$, sodass f.a. $l\in\N$ gilt $|z–\mathrm{i}l|\(\endgroup\)


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-16

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, es ist doch $$ |z+\i n|\cdot |z-\i n|=|(z+\i n)\cdot (z-\i n)|=|z^2+n^2|. $$ Wieso ist bei dir also $$ |n+z|=|z+\i n|\cdot |z-\i n| ? $$ LG Nico\(\endgroup\)


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SergejGleitman
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}}\) Moin Nico und danke sehr, du hast recht, ich hatte die Quadrate vergessen. Also: Sei $k\in\N$ und $z\in\C\setminus \mathrm{i}\N$, sodass f.a. $l\in\N$ gilt $|z–\mathrm{i}l|\(\endgroup\)


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semasch
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-09-22

Moin Serj, ich bin mir nicht ganz sicher, ob dein Beweisansatz so schon ganz funktioniert. Die Aussage stimmt aber, also dass die Funktionenreihe \[z \mapsto \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{z^2+n^2}\] auf $\mathbb{C} \setminus i\mathbb{Z}^*$ lokal gleichmäßig konvergiert. Um das nachzuweisen, würde ich dir Folgendes vorschlagen: Definiere für $k \in \mathbb{N}^*$ die Menge \[A_k := \left\{z \in \mathbb{C}: d(z,i\mathbb{Z}^*) \ge \frac{1}{k}, |z| \le k\right\}.\] Dann kannst du (von deiner konkreten Abschätzung abhängige) Konstanten $n_k \in \mathbb{N}^*, c_k > 0$ so finden, dass für alle $n \ge n_k$ und $z \in A_k$ gilt \[\left|\frac{1}{z^2+n^2}\right| \le \frac{c_k}{n^2}.\] Daraus folgt dann die absolute und damit insbesondere die gleichmäßige Konvergenz der Funktionenreihe auf $A_k$. Mit \[\mathbb{C} \setminus i\mathbb{Z}^* = \bigcup_{k \in \mathbb{N}^*} A_k\] erhält man daraus die zu zeigende Aussage. LG, semasch


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SergejGleitman
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-23

Moin semasch, ja genau so Funktioniert der mir vorliegnede Beweis. Den Teil hatte ich auch verstanden, aber mich hat lediglich die rot markierte Ungleichung verwirrt (Ich wollte nur etwas zusätzlichen Kontext geben). Vielen Dank! LG Serj


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