Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Mathematik » Analysis » Lösung Gleichungssystem trigonometrisch
Autor
Kein bestimmter Bereich Lösung Gleichungssystem trigonometrisch
Madunicorn
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 13.09.2021
Mitteilungen: 5
  Themenstart: 2021-09-16

Hallo liebes Forum, ich habe folgendes Gleichungssystem zu lösen und komme da grade nicht mehr so richtig weiter bzw. fehlt mir der Einfall zum Lösen. Das Gleichungssystem ist folgendes: B + D + E = 285° 2*E + D = 360° cos(B) - cos(B+150°) + cos(B+150°+D) + 1/100*a*cos(-105°) = 1 sin(B) - sin(B+150°) + sin(B+150°+D) + 1/100*a*sin(-105°) = 0 Anzumerken ist, dass B,D und E Winkel sind, während a eine reelle Zahl ist. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. Danke schon mal für die Hilfe😃


   Profil
Caban
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 1835
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-16

Hallo Du könntest erstmal Additionstheoreme probieren und schauen was sich dann ergibt. Gruß Caban


   Profil
Madunicorn
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 13.09.2021
Mitteilungen: 5
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-16

Hatte ich schon überlegt und mich ein bisschen gedrückt... :D Werde ich morgen mal machen und dann gucken was bei rum kommt.


   Profil
ThomasRichard
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.04.2010
Mitteilungen: 440
Wohnort: Aachen
  Beitrag No.3, eingetragen 2021-09-17

Hallo madunicorn, die Aufgabenstellung finde ich interessant und habe sie daher mal an Maple verfüttert. Bei Interesse poste ich gern den Code. Damit findet man zwar die Lösung recht schnell, aber sie ist (selbst nach Vereinfachung) noch so kompliziert, dass ich mir kaum vorstellen kann, wie man sie von Hand herleiten sollte. Das ist aber nur mein Bauchgefühl, keine absolute Gewissheit - es soll dich also nicht entmutigen, es zu versuchen.


   Profil
Madunicorn
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 13.09.2021
Mitteilungen: 5
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-17

Hallo ThomasRichard, danke für das Interesse, den Code würde ich gerne mal sehen und auch das zahlenmäßige Ergebnis würde mich interessieren. Das Gleichungssystem rührt aus dem Versuch einer Berechnung eines Fünfecks für eine Parkettierung, deswegen bin ich eigentlich auch nur an dem zahlenmäßigen Ergebnis interessiert. ( hier mein ursprünglicher Post dazu). Deswegen kann es auch gut sein, dass es händisch fast unmöglich ist herzuleiten. In Mathematik-Programmen bin ich leider nicht so fit und hatte gehofft, dass es vielleicht auch gut händisch zu lösen ist. Dem scheint ja nicht so... Es wäre deshalb natürlich toll, wenn du deinen Code teilen könntest, dann bekomme ich da mal einen Einblick. Und vielleicht hast du ja eine kleine Empfehlung (am besten für arme Studenten :D) welches Programm empfehlenswert ist sich für solche Problemstellungen mal näher anzuschauen, ich würde gerne an den Eingangsparametern für das Gleichungssystem noch ein bisschen rumspielen. Vielen Dank schonmal für deine Mühe!


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 2703
  Beitrag No.5, eingetragen 2021-09-17

Man kann das Gleichungssystem leicht auf eine Unbekannte reduzieren. Aus den ersten beiden Gleichungen ergibt sich$$ D=-2E\;,\quad B=E-75^\circ $$und damit aus der vierten$$ \frac a{100} = -{\sin(E+75^\circ)\over\sin(75^\circ)} \;. $$Also ergibt sich$$ 2\cos(E-75^\circ)-\cos(E+75^\circ)+\sin(E+75^\circ)\cdot\cot(75^\circ)=1 $$ als Gleichung für $E$ allein, und die kann man leicht numerisch lösen: $E=9\mathord,5^\circ$ oder $E=150\mathord,7^\circ$. --zippy


   Profil
Madunicorn
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 13.09.2021
Mitteilungen: 5
  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-17

Hallo Zippy, ja manchmal ist man auf beiden Augen blind und es kann so einfach sein (die Winkelfunktionen blenden mir manchmal irgendwie die Sicht...). Vielen Dank für die Lösung, das hilft mir sehr weiter (nur damit es hier richtig steht, die erste Gleichung heißt dann ja D= -2E +360°). Danke an alle für die Bemühungen. @ThomasRichard, es wäre trotzdem noch toll, wenn du noch etwas zu meinen Fragen schreiben könntest, einfach aus Interesse.


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 2703
  Beitrag No.7, eingetragen 2021-09-17

\quoteon(2021-09-17 21:26 - Madunicorn in Beitrag No. 6) die erste Gleichung heißt dann ja D= -2E +360° \quoteoff Zwischen $360^\circ$ und $0^\circ$ bzw. zwischen $-2E+360^\circ$ und $-2E$ gibt es keinen Unterschied.


   Profil
hyperG
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.02.2017
Mitteilungen: 1517
  Beitrag No.8, eingetragen 2021-09-18

\quoteon(2021-09-17 18:37 - zippy in Beitrag No. 5) ... $$Also ergibt sich$$ 2\cos(E-75^\circ)-\cos(E+75^\circ)+\sin(E+75^\circ)\cdot\cot(75^\circ)=1 $$ als Gleichung für $E$ allein, und die kann man leicht numerisch lösen: $E=9\mathord,5^\circ$ oder $E=150\mathord,7^\circ$. ... \quoteoff Man kann diese Gleichung auch exakt lösen, wenn man alles in SI-Einheiten wandelt: \sourceon nameDerSprache 2*cos(x-75*Pi/180)-cos(x+75*Pi/180)+sin(x+75*Pi/180)*cot(75*Pi/180)=1 ((-1 + Sqrt[3]) Cos[x] + (-1 + 3 Sqrt[3]) Sin[x])/Sqrt[2] = 1 x1 = 2 (ArcTan[(Sqrt[2]-3 Sqrt[6] - Sqrt[2 (30-8 Sqrt[3])])/(Sqrt[2]-Sqrt[6]-2)] + Pi n) x2 = 2 (ArcTan[(Sqrt[2]-3 Sqrt[6] + Sqrt[2 (30-8 Sqrt[3])])/(Sqrt[2]-Sqrt[6]-2)] + Pi n) Table[{a=N[2 (ArcTan[(Sqrt[2]-3 Sqrt[6] +k*Sqrt[2 (30-8 Sqrt[3])])/(Sqrt[2]-Sqrt[6]-2)] + Pi n),17],ToString[(a*180/Pi)]<>"\[Degree]"}, {n,0,0},{k,-1,1,2}] {2.6304378726444119 ,150.71298837389554°} {0.16571605149329902,9.4948303481386568°} \sourceoff ... und erst nach der exakten Berechnung den Winkel in die veraltete Einheit ° wandelt. Die sich wiederholenden (und damit identischen) Winkel habe ich durch {n,0,0} statt {n,0,1} weggelassen.


   Profil
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 7832
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.9, eingetragen 2021-09-18

Hallo hyperG, deine CAS-Künste in allen Ehren, aber das hier: \quoteon(2021-09-18 14:29 - hyperG in Beitrag No. 8) ... und erst nach der exakten Berechnung den Winkel in die veraltete Einheit ° wandelt. \quoteoff ist Blödsinn. (Höflich ausgedrückt.) Gruß, Diophant


   Profil
MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 2827
Wohnort: Werne
  Beitrag No.10, eingetragen 2021-09-18

Hallo zusammen, das kann man auch ganz elementar lösen. Zweimal die erste Gleichung minus die zweite Gleichung ergibt $$2B+D=210°$$$$B+D=210°-B$$$$B+D+150°=360°-B$$In Gleichungen 3 und 4 eingesetzt folgt: $$\cos B-\cos(B+150°)+\cos B+\frac a{100}\cos 105°=1$$$$2\cos B-\cos(B+150°)+\frac a{100}\cos 105°=1\tag5$$Und $$\sin B-\sin(B+150°)-\sin B-\frac a{100}\sin 105°=0$$$$\sin(B+150°)+\frac a{100}\sin 105°=0\tag6$$Wir multiplizieren die Gleichung (5) mit $\sin105°$, (6) mit $\cos105°$ und subtrahieren: $$\left(2\cos B-\cos(B+150°)\right)\sin105°-\sin(B+150°)\cos105°=\sin105°$$$$2\cos B\sin105°-\sin(B+255°)=\sin105°$$$$2\cos B\sin75°+\sin(B+75°)=\sin75°$$$$\sin B\cos75°+3\cos B\sin75°=\sin75°$$Von hier an gibt es unterschiedliche Wege. Man kann zum Beispiel die bekannten Werte für 75° einsetzen (siehe hier) und erhält: $$(\sqrt3-1)\sin B+3(\sqrt3+1)\cos B=\sqrt3+1$$Erweitern mit $\sqrt3+1$: $$2\sin B+3(4+2\sqrt3)\cos B=4+2\sqrt3$$$$\sin B+3(2+\sqrt3)\cos B=2+\sqrt3$$Man könnte nun den Kosinusterm rechts rüber bringen, quadrieren und $\sin^2x=1-\cos^2x$ nutzen: $$1=\cos^2 B+(2+\sqrt 3)^2(1-3\cos B)^2$$Das ist eine quadratische Gleichung für $\cos B$. Ciao, Thomas [Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]


   Profil
Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2132
  Beitrag No.11, eingetragen 2021-09-18

Huhu Madunicorn, alternativ zum Quadrieren helfen dann auch immer Polarkoordinaten. Siehe z.B. dort: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=226796&start=0#p1654056 Dieses nur als kleine Ergänzung zu der von Thomas schön hergeleiteten Gleichung. Gruß, Küstenkind


   Profil
ThomasRichard
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.04.2010
Mitteilungen: 440
Wohnort: Aachen
  Beitrag No.12, eingetragen 2021-09-20

\quoteon(2021-09-17 17:22 - Madunicorn in Beitrag No. 4) In Mathematik-Programmen bin ich leider nicht so fit und hatte gehofft, dass es vielleicht auch gut händisch zu lösen ist. Dem scheint ja nicht so... Es wäre deshalb natürlich toll, wenn du deinen Code teilen könntest, dann bekomme ich da mal einen Einblick. Und vielleicht hast du ja eine kleine Empfehlung (am besten für arme Studenten :D) welches Programm empfehlenswert ist sich für solche Problemstellungen mal näher anzuschauen, ich würde gerne an den Eingangsparametern für das Gleichungssystem noch ein bisschen rumspielen. \quoteoff Hallo Madunicorn, klar, gerne! Vorab: ich habe D durch C ersetzt, weil D in Maple (per Default) für den Differentialoperator steht, wodurch es Probleme geben könnte, wenn man später noch damit ableiten möchte - was hier ja bisher nicht der Fall ist. Und ich habe die Grad-Angaben in Bogenmaß umgewandelt. Maple 2021 hat zwar auch ein Degrees-Paket (sind, cosd usw.), aber die Lösungen sind etwas umständlicher zu verarbeiten. \sourceon Maple restart: convert(285*degrees,radians); g1 := B + C + E = 19*Pi/12: # 285° g2 := 2*E + C = 2*Pi: # 360° g3 := cos(B) - cos(B+5/6*Pi) + cos(B+5/6*Pi+C) + 1/100*a*cos(-7/12*Pi) = 1: g4 := sin(B) - sin(B+5/6*Pi) + sin(B+5/6*Pi+C) + 1/100*a*sin(-7/12*Pi) = 0: # B,C,E sind Winkel, a ist kein Winkel sys := [g1,g2,g3,g4]; #vars := indets(sys,'name') minus {Pi}; # zweites Argument für solve, hier unnötig infolevel[solve] := 3: # optional lsg := solve(sys); lsg := simplify(lsg); avs := allvalues(lsg); evs := expand(avs); svs := simplify(evs); # optionaler Check: is~(eval(sys,svs)); \sourceoff Vielleicht geht es noch ein wenig kürzer. Hier das Ergebnis (in Maple-Syntax, habe jetzt keine Zeit für Fed und LaTeX): svs := {B = arctan(((sqrt(3) - 6)*sqrt(567 + 132*sqrt(3)) + 12*sqrt(3) + 9)/(21*sqrt(3) + 6 + 3*sqrt(567 + 132*sqrt(3)))) - Pi/6, C = -2*arctan(((sqrt(3) - 6)*sqrt(567 + 132*sqrt(3)) + 12*sqrt(3) + 9)/(21*sqrt(3) + 6 + 3*sqrt(567 + 132*sqrt(3)))) + (3*Pi)/2, E = arctan(((sqrt(3) - 6)*sqrt(567 + 132*sqrt(3)) + 12*sqrt(3) + 9)/(21*sqrt(3) + 6 + 3*sqrt(567 + 132*sqrt(3)))) + Pi/4, a = -50*sqrt(2)*((3 + sqrt(3))*sqrt(189 + 44*sqrt(3)) + 9*sqrt(3) - 3)/(39 + 13*sqrt(3))} Für Studenten kostet eine individuelle Lizenz (Maple Student Edition) im Webstore 100€; viele Hochschulen bieten auch vergünstigte Sammel-Lizenzen. Einfach im jeweiligen Rechenzentrum oder Mathematik-Institut (oder bei uns) fragen. Falls du spezifische Fragen hast:;am besten im Unterforum Mathematische Software > Maple stellen.


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 2703
  Beitrag No.13, eingetragen 2021-09-20

Das Ergebnis für $E$ aus der Maple-Lösung ist$$ E = \arctan\left({(\sqrt{3} - 6)\cdot\sqrt{\strut567 + 132\cdot\sqrt{3}} + 12\cdot\sqrt{3} + 9\over 21\cdot\sqrt{3} + 6 + 3\cdot\sqrt{\strut567 + 132\cdot\sqrt{3}}}\right) + 45^\circ \approx 9\mathord,5^\circ $$und das stimmt mit der ersten der beiden in Beitrag Nr. 5 numerisch gefundenen Lösungen überein.


   Profil
MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 2827
Wohnort: Werne
  Beitrag No.14, eingetragen 2021-09-20

... oder wenn man die analytische Lösung weiterverfolgt: $$E=75°+\arctan\sqrt{15-4\sqrt3}+\arctan\frac{2-\sqrt3}3\approx150,713° $$oder $$E=75°-\arctan\sqrt{15-4\sqrt3}+\arctan\frac{2-\sqrt3}3\approx9,495°$$ 😉 Ciao, Thomas


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 2703
  Beitrag No.15, eingetragen 2021-09-20

Die von Hand gebastelte Lösung sieht schlägt die Maple-Lösung im Hinblick auf Übersichtlichkeit doch deutlich. (Ganz abgesehen davon, dass Maple uns die zweite Lösung vorenthält.)


   Profil
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
AlphaSigma
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.11.2012
Mitteilungen: 302
  Beitrag No.16, eingetragen 2021-09-27 21:49

\quoteon(2021-09-20 10:47 - zippy in Beitrag No. 13) Das Ergebnis für $E$ aus der Maple-Lösung ist$$ E = \arctan\left({(\sqrt{3} - 6)\cdot\sqrt{\strut567 + 132\cdot\sqrt{3}} + 12\cdot\sqrt{3} + 9\over 21\cdot\sqrt{3} + 6 + 3\cdot\sqrt{\strut567 + 132\cdot\sqrt{3}}}\right) + 45^\circ \approx 9\mathord,5^\circ $$und das stimmt mit der ersten der beiden in Beitrag Nr. 5 numerisch gefundenen Lösungen überein. \quoteoff \quoteon(2021-09-20 21:55 - zippy in Beitrag No. 15) Die von Hand gebastelte Lösung sieht schlägt die Maple-Lösung im Hinblick auf Übersichtlichkeit doch deutlich. (Ganz abgesehen davon, dass Maple uns die zweite Lösung vorenthält.) \quoteoff Hallo, ich habe den von Zippy abgeleiteten Ausdruck im Beitrag No. 5 zuerst in Reduce vereinfacht und dann die Gleichung lösen lassen, zuerst analytisch, dann numerisch. E habe ich durch x ersetzt. Im Vergleich zum Ergebnis von Maple aus Beitrag No. 12 sind die Koeffizienten kleiner und Reduce gibt beide Lösungen an. Fairerweise hat Reduce aber nicht das komplette Gleichungssystem gelöst. Das geht, glaube ich, auch nur in mehreren Schritten und mit Hilfestellung. https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35344_red01.png www.reduce-algebra.com


   Profil
AlphaSigma
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.11.2012
Mitteilungen: 302
  Beitrag No.17, eingetragen 2021-09-28 19:01

\quoteon(2021-09-18 14:29 - hyperG in Beitrag No. 8) ... Man kann diese Gleichung auch exakt lösen, wenn man alles in SI-Einheiten wandelt: \sourceon nameDerSprache 2*cos(x-75*Pi/180)-cos(x+75*Pi/180)+sin(x+75*Pi/180)*cot(75*Pi/180)=1 ((-1 + Sqrt[3]) Cos[x] + (-1 + 3 Sqrt[3]) Sin[x])/Sqrt[2] = 1 x1 = 2 (ArcTan[(Sqrt[2]-3 Sqrt[6] - Sqrt[2 (30-8 Sqrt[3])])/(Sqrt[2]-Sqrt[6]-2)] + Pi n) x2 = 2 (ArcTan[(Sqrt[2]-3 Sqrt[6] + Sqrt[2 (30-8 Sqrt[3])])/(Sqrt[2]-Sqrt[6]-2)] + Pi n) Table[{a=N[2 (ArcTan[(Sqrt[2]-3 Sqrt[6] +k*Sqrt[2 (30-8 Sqrt[3])])/(Sqrt[2]-Sqrt[6]-2)] + Pi n),17],ToString[(a*180/Pi)]<>"\[Degree]"}, {n,0,0},{k,-1,1,2}] {2.6304378726444119 ,150.71298837389554°} {0.16571605149329902,9.4948303481386568°} \sourceoff ... und erst nach der exakten Berechnung den Winkel in die veraltete Einheit ° wandelt. .. \quoteoff Hallo hyperG, welches CAS hast Du in Beitrag No. 8 verwendet? Der Code sieht nach Mathematica oder Wolfram-Alpha aus.


   Profil
AlphaSigma
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.11.2012
Mitteilungen: 302
  Beitrag No.18, eingetragen 2021-09-30 22:39

Hallo, ich habe Reduce den Lösungsweg von zippy aus Beitrag No. 5 Schritt für Schritt vorgegeben und lösen lassen. https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35344_red02.png https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35344_red03.png


   Profil
Madunicorn wird per Mail über neue Antworten informiert.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]