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  Bruch mit Wurzeln Umformung und Bestimmung von Variablen |
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infosoccom
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 19.09.2021
Mitteilungen: 36
 |  Themenstart: 2021-09-19
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Hallo,
folgende Aufgabe:
Hatte ich vergessen anzugeben: x > 0 und a, b, c und d sind ganzzahlig. Wählen sie a, b, c so, dass d kleinstmöglich aber positiv ist
(2+sqrt(x))/(-2-sqrt(x)) = (a+b*sqrt(x))/(c*x+d)
Wenn ich den Bruch mit: -2+sqrt(x)
erweitere und dann die 3. Binomische Formel anwende erhalte ich:
(-4+x)/(4-x)
Ich weiß nicht, wie ich den Bruch weiter umformen kann um ihn in der zur Bestimmung von a, b, c und d benötigen Form zu bekommen. Wäre sehr dankbar, wenn ihr mir jemand helfen könnte.
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 Profil
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10532
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-19
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo und willkommen hier im Forum!
Hm. Das ist eine seltsame Aufgabenstellung. Schaue dir einmal die linke Seite an, dort steht einfach nur \(-1\). Du könntest also von vorn herein von der folgenden Gleichung ausgehen:
\[\frac{a+b\sqrt{x}}{cx+d}=-1\]
Und die stimmt für alle \(x>0\) offensichtlich genau dann, wenn \(a=-d\neq 0\) und \(b=c=0\) gilt.
In welchem Zusammenhang bist du denn darüber gestolpert?
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Terme und (Un-) Gleichungen' von Diophant]\(\endgroup\)
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infosoccom
Wenig Aktiv
Dabei seit: 19.09.2021
Mitteilungen: 36
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-19
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Vielen Dank für deine Antwort. Ich hatte folgendes vergessen anzugeben: x>0 sowie a, b, c und d sind ganzzahlig und a, b und c sollen so gewählt werden, sodass d kleinstmöglich aber positiv ist.
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10532
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-09-19
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
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\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
wie gesagt: das kann so (bis auf die oben angegebenen Triviallösungen*) nicht funktionieren, denn auf der rechten Seite steht im Zähler eine Wurzelfunktion, im Nenner jedoch eine lineare Funktion. Der Bruch soll aber konstant sein.
Oder hast du dich irgendwo vertippt?
Am besten gibst du einmal die komplette Aufgabenstellung im Originalwortlaut an.
Die Lösung \(a=-1,\ b=c=0,\ d=1\) würde deinen obigen Anforderungen jedoch genügen.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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infosoccom
Wenig Aktiv
Dabei seit: 19.09.2021
Mitteilungen: 36
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-19
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Aufgabe im Originalwortlaut:
Es sei x > 0. Für welche ganzzahligen a, b, c und d gilt:
(2+sqrt(x))/(-2-sqrt(x)) = (a+b*sqrt(x))/(c*x+d) ?
Wählen sie a, b, c so, dass d kleinst möglich, aber positiv ist.
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infosoccom
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 19.09.2021
Mitteilungen: 36
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-19
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Stimmt a = -1, b = 0, c= 0 und d = 1 ist richtig. Danke nochmal.
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Caban
Senior 
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 2805
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
 | Beitrag No.6, eingetragen 2021-09-19
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Nach einer Umformung würde ich a+b*sqrt(x)+c*x+d=0 erhalten. Die Lösung von Diophant für ein kleinstmögliches d, ist denke ich die einzige Lösung, die für alle x funktioniert.
Gruß Caban
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
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