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Mathematik » Analysis » Funktionenfolgen
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Universität/Hochschule J Funktionenfolgen
Gengar
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 18.12.2020
Mitteilungen: 68
  Themenstart: 2021-09-20

Hallo, weiß jemand, welche Eigenschaften von Funktionen \(f_n :\) \(D\) \(\rightarrow\) \(\mathbb{R}^n\), \(D \subseteq\) \(\mathbb{R}^n\) einer Funktionenfolge auf die Grenzfunktion \(f\) bei punktweiser Konvergenz übertragen werden? Also Stetigkeit wird nicht immer übertragen. Wie sieht es mit Lipschitz, Hölderstetigkeit aus?


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sonnenschein96
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Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 560
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-20

Hallo Gengar, betrachte die Funktionenfolge \(f_n\colon[0,1]\to\mathbb{R}\) definiert durch \(f_n(x)=x^n\). Diese konvergiert punktweise gegen eine unstetige Funktion, obwohl alle \(f_n\) Hölder-stetig sind. Wenn es allerdings ein \(C>0\) gibt, sodass für alle \(n\in\mathbb{N}\) und \(x,y\in D\) gilt, dass \[|f_n(x)-f_n(y)|\leq C|x-y|^\alpha,\] so überträgt sich diese Ungleichung bei der punktweisen Konvergenz. Wichtig ist hierbei, dass die Konstante \(C\) unabhängig von \(n\) ist.


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Wally
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Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9289
Wohnort: Dortmund, Old Europe
  Beitrag No.2, eingetragen 2021-09-20

Die von sonnenschein96 erwähnte Eigenschaft nennt man "relative Vollständigkeit". Ansonsten fällt mir noch Messbarkeit ein, die bei punktweiser Konvergenz auf die Grenzfunktion übergeht. Viel mehr wird es nicht geben. Viele Grüße Wally


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Gengar
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 18.12.2020
Mitteilungen: 68
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-21

Danke Leute 🙂


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Gengar hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Gengar hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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