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Universität/Hochschule J Globales Extremum
MasterWizz
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  Themenstart: 2021-09-21

Hey Leute, ich stehe vor dem Problem, dass ich von der Funktion \(f(x,y)=\mathrm{e}^{2x}(x+y^2)\) zwar das lokale Minimum \((-\frac12,0)\) herausgefunden habe, aber nicht erklären kann, wieso es ein globales Minimum ist. Habt ihr eine Idee?


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-21

Hallo, unabhängig von der konkreten Funktion ergibt die Frage nach globalen Extrema dann und nur dann Sinn, wenn du den Definitionsbereich der Funktion mit angibst. LG Nico


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MasterWizz
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-21

Du hast Recht, tut mir Leid! Es gilt \(f:\ \mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}\), es sind also alle reellen Zahlen \(x\) und \(y\) erlaubt.


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Kuestenkind
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-09-21

Huhu MasterWizz, du willst also zeigen, dass \(e^{2x}(x+y^2)\geq -\frac{1}{2}e^{-1}\) ist für alle \(x,y\in \mathbb{R}\). Nun ist doch sicherlich \(e^{2x}(x+y^2)\geq xe^{2x}\). Wo liegt dort das Minimum? Gruß, Küstenkind


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MasterWizz
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-21

Ah ok verstehe. Und dann einfach mit der Monotonie argumentieren, warum die Funktion \(g(x)=x\mathrm{e}^{2x}\) ein globales Minimum besitzt :)


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-09-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2021-09-21 16:21 - MasterWizz in Beitrag No. 4) Ah ok verstehe. Und dann einfach mit der Monotonie argumentieren, warum die Funktion \(g(x)=x\mathrm{e}^{2x}\) ein globales Minimum besitzt :) \quoteoff wie meinst du das? Falls es so gemeint ist, dass die Ableitung auf ganz \(\IR\) stetig ist und nur eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt, dann passt es. Jedenfalls ist die betrachtete Funktion nicht monoton auf ganz \(\IR\). Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Mehrdim. Differentialrechnung' von Diophant]\(\endgroup\)


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MasterWizz
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-21

Genau das meine ich, vielen Dank!! :)


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