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Mathematik » Geometrie » Parametrisierte Kurve eines Schnitts aus Kugel und Ebene
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Universität/Hochschule J Parametrisierte Kurve eines Schnitts aus Kugel und Ebene
WagW
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  Themenstart: 2021-09-22 16:49

Hallo zusammen, wir sollen eine parametrisierte Kurve des Schnitts einer Kugel mit Radius $2$ um den Mittelpunkt $(0,0,1)$ mit der Ebene $x=z$ im $\mathbb{R}^3$ konstruieren. In der Musterlösung wird $$ \varphi:[0,2\pi]\to\mathbb{R}^3, \varphi(t)=\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{7}}{2}\cos(t)+\frac{1}{2}\\ \frac{\sqrt{14}}{2}\sin(t)\\ \frac{\sqrt{7}}{2}\cos(t)+\frac{1}{2}\end{pmatrix} $$ angegeben. Meine Idee war: $$ x^2+y^2+(z-1)^2=4\implies x^2+y^2+(x-1)^2=4\\ \implies y_1=\sqrt{3+2x-2x^2} \text{ und } y_2=-\sqrt{3+2x-2x^2}.$$ Wir definieren nun die parametrisierte Kurve $\varphi:\left[\frac{1}{2}-\sqrt{1.75},\frac{1}{2}+\sqrt{1.75}~\right]\to\mathbb{R}^3$, mit $$\varphi(t)=\begin{pmatrix}t\\ \sqrt{3+2t-2t^2}\\ t\end{pmatrix}.$$ Natürlich könnte man genauso $\varphi(t)$ durch $$\varphi(t)=\begin{pmatrix}t\\ -\sqrt{3+2t-2t^2}\\ t\end{pmatrix}$$ festlegen. Meine Lösung wurde vom Übungsleiter als falsch markiert - leider nur mit der Begründung "das ist offensichtlich falsch". Vielleicht kann mir jemand sagen warum meine Idee falsch ist. viele Grüße WagW


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-22 17:09

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, nun, der Schnittkreis muss ja in der (schrägen) Ebene liegen. Von daher kann man ihn nicht durch eine Koordinatengleichung beschreiben, sondern von vorn herein eben nur durch eine Parametrisierung. Obendrein beschreiben deine beiden Lösungen zwei Halbellipsen in der xy-Ebene. Offensichtlich also die Projektion der Schnittkurve in die besagte Ebene. Erschwerend kommt noch dazu, dass die y-Koordinate deiner Parametrisierung gar nicht von \(t\) abhängt. Das ist aber eventuell ein C&P-Fehler und sei hier nur der Vollständigkeit halber erwähnt. Weiterhin stimmt das Intervall für den Parameter nicht. Nachtrag: Vermutlich kann man es schon so machen, wie du es vorhattest und es wurde einfach die falsche Variable in der y-Koordinate sowie die falschen Intervalle für die Parameter moniert? Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Geometrie' von Diophant]\(\endgroup\)


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lula
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-09-22 22:08

Hallo eine Kurve im Raum ist eine Abbildung eines reellen Intervalls t in (t1,t1] in den 3d darin kommen als Komponenten nur Funktionen von t vor. Dein Korrektor musste nach den x,y Ausdruck nicht mehr weiter sichten bis dann, lul


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WagW
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-22 22:47

Hallo, ich hatte im ersten Beitrag tatsächlich einen blöden copy/paste Fehler, den ich jetzt korrigiert habe. (In meiner Abgabe der Übungsaufgabe hatte ich das aber richtig). \quoteon(2021-09-22 17:09 - Diophant in Beitrag No. 1) nun, der Schnittkreis muss ja in der (schrägen) Ebene liegen. Von daher kann man ihn nicht durch eine Koordinatengleichung beschreiben, sondern von vorn herein eben nur durch eine Parametrisierung. \quoteoff Hier verstehe ich nicht genau was Du meinst. Meine vorgeschlagene Funktion ist doch eine parametrisierte Kurve und liegt in der schrägen Ebene, da ich sie aus der Schnitt-Bedingung abgeleitet habe. \quoteon(2021-09-22 17:09 - Diophant in Beitrag No. 1) Weiterhin stimmt das Intervall für den Parameter nicht. \quoteoff Wieso stimmt das Intervall nicht? viele Grüße WagW


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Diophant
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-09-22 23:18

Hallo WagW, die Parametrisierung muss ja einmal den kompletten Schnittkreis durchlaufen. Wie soll das bei deiner Version funktionieren? Du erwischst ja mit jeder der beiden Versionen jeweils nur einen Halbkreis. In der Musterlösung wird aber genau das durch die Kreisfunktionen sichergestellt. Bei deinem Intervall hatte ich vorhin die Wurzeln übersehen, sorry. Gruß, Diophant


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WagW
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-22 23:27

Ah okay, jetzt verstehe ich was Du meinst 😃 Das ist dann ja der gleiche Fehler, wie wenn ich den Einheitskreis "parametrisieren" möchte indem ich $x^2+y^2=1$ auflöse und dann merke, dass ich entweder nur den oberen oder unteren Halbkreis "treffe". Richtig?


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Diophant
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-09-22 23:30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2021-09-22 23:27 - WagW in Beitrag No. 5) Ah okay, jetzt verstehe ich was Du meinst 😃 Das ist dann ja der gleiche Fehler, wie wenn ich den Einheitskreis "parametrisieren" möchte indem ich $x^2+y^2=1$ auflöse und dann merke, dass ich entweder nur den oberen oder unteren Halbkreis "treffe". Richtig? \quoteoff Ja, das ist das gleiche Problem. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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