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Mathematik » Topologie » Beweis über Folgenkonvergenz
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Universität/Hochschule J Beweis über Folgenkonvergenz
Strandkorb
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  Themenstart: 2021-09-22

Hallo Zusammen Ich habe folgende Aussage: Sei (M,d) ein metrischer Raum un \((p_n)_{n\in \mathbb{N}}\) eine Folge in M. Dann gilt \((p_n)_{n\in \mathbb{N}}\rightarrow p\in M \Rightarrow \forall \,\,\, \text{Umgebungen U von p} \,\,\,\exists N\in \mathbb{N}: \forall n\geq N \,\, p_n\in U\) Intuitiv ist die Aussage ja ziemlich logisch, doch nun müsste ich diese noch beweisen, das hätte ich wie folgt gemacht: Beweis Wir nehmen an dass \(p_n\rightarrow p \Leftrightarrow \forall \epsilon >0\,\,\, \exists \,\,\,N\in \mathbb{N}: \forall n\geq N \,\,\, d(p_n,p)<\epsilon\)(1) Nimm nun eine beliebige Umgebung U von p. Dann \(\exists \epsilon >0:\, B_\epsilon(p)\subset U \stackrel{(1)}{\Rightarrow} \exists N\in \mathbb{N} \,\, s.d. \forall \,\,\,n\geq N \,\,\,d(p_n,p)<\epsilon \Rightarrow p_n\in B_\epsilon (p) \subset U\) nun bin ich mir nicht sicher ob das so schon genügend ist, oder ob das komplett falsch ist. Vielen Dank für eure Hilfe!


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LetsLearnTogether
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-22

Hallo, im Prinzip ist das richtig, nur solltest du den Beweis anders aufziehen. Anstelle erst die Definition von der Konvergenz in metrischen Räumen zu zitieren, beginne so: Sei $U$ eine beliebige Umgebung von $p\in M$. Dann existiert ein $\varepsilon >0$, sodass $B_\varepsilon(p)\subseteq U$ gilt. Da $p_n\to p$ existiert ein $N\in\mathbb{N}$, sodass für alle $n\geq N$ gilt, dass $p_n\in B_\varepsilon(p)$ (nach Definition der Konvergenz). Also auch $p_n\in U$ für alle $n\geq N$, was zu zeigen war. Es ist ein typischer 'Anfängerfehler' bei Beweisen da anzusetzen was Voraussetzung ist, anstelle mit dem was man eigentlich zeigen möchte, um dann die Voraussetzung an geeigneter Stelle einfließen zu lassen. Dadurch wirkt der Beweis dann unstrukturiert und ist nicht so schön lesbar, zumal die Wahl von $\varepsilon$ an gegebener Stelle entscheidend ist. 'Unleserlichkeit' liegt unteranderem auch an der inflationären Verwendung von Quantoren, und anderen mathematischen Zeichen, die besser zu vermeiden sind. Ein Fließtext ist immer einfacher zu lesen.


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