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Universität/Hochschule J Hypothesentest für den Placeboeffekt
julian2000P
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  Themenstart: 2021-09-24

Hallo zusammen, Es geht um folgende Fragestellung zum Thema Placebo Effekt: Ärzte haben 7000 Patienten Medikamente verabreicht, ohne zu Wissen, dass es Placebos waren. Die Ärzte wurden später aufgeklärt, dass es sich nur um Placebos gehandelt hat, waren aber erstaunt, dass sich 70 % der Patienten tatsächlich besser gefühlt haben. Ich soll nun testen ob es sich in dieser Situation tatsächlich um den Placebo Effekt gehandelt hat. Ich habe zunächst die Hypothesen aufgestellt (hoffentlich richtig?): \[ H_0: \text{Es liegt kein Placebo Effekt vor } \; vs. \; H_1: \text{Es liegt ein Placebo Effekt vor } \] Dann bin mir aber schon nicht mehr sicher. Die eigentliche Fragestellung ist ja, ob es reiner Zufall war, dass sich 70 % der Patienten besser gefühlt haben. Wie kann ich diesen Zufall aber quantifizieren ohne weitere Information? Ich habe beispielhaft angenommen, dass man sich mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% einfach so besser fühlt, egal ob man jetzt einen Placebo genommen hat. Mit meiner Teststatistik ($p_0 = 0.5$) \[ T(X):= \sqrt{n}\frac{\bar{X} - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)}} \approx N(0,1) \] konnte ich einen p-Value von $\mathbb{P}(T(X) \geq \sqrt{7000}\frac{0.7 - 0.5}{\sqrt{0.5(1-0.5)}}) << 0.05$ feststellen. Ich verwerfe damit $H_0$. Ich habe auch ein bisschen herumgespielt mit $p_0$. $p_0$ muss schon ziemlich nahe an 0.7 dran sein, dass ich $H_0$ nicht verwerfen könnte. Ist diese Vorgehensweise korrekt, oder liege ich da ganz falsch und übersehe ich etwas? Danke schon mal. Grüße


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, wenn ich das richtig sehe, dann hast du fast alles richtig gemacht. Aber nur fast: die Hypothesen sind falsch herum aufgestellt, und das erklärt auch das durchaus widersinnige Ergebnis, dass der Placebo-Effekt unwahrscheinlicher wird, wenn man die Wahrscheinlichkeit seines Auftretens vergrößert. Mit \(H_0:\) es liegt ein Placebo-Effekt vor und \(H_1:\) es liegt kein Placebo-Effekt vor kommt man hier durch Verwerfung der Nullhypothese (wie es die korrekt aufgestellte Testfunktion vorschreibt) zu der plausiblen Annahme, dass die Wirkung allein durch den Placebo-Effekt nicht zu erklären ist. Wobei man schon dazusagen muss, dass diese Aufgabe aus pharmazeutischer Sicht ein ziemlicher Humbug ist, denn du musst ja die wichtige Grundannahme über die Wahrscheinlichkeit des Auftretens dieses Effekts hier selbst treffen. In der Realität liegt dieser Effekt m.W. meist auch deutlich niedriger (das hängt aber sehr stark von der Grunderkrankung und der Art des Wirkstoffes ab). Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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julian2000P
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-24

Hallo Diophant, zunächst mal vielen Dank für deine Antwort. Wenn ich die Hypothesen nun umdrehe erhalte ich \[ H_0: \text{Es gibt einen Placeboeffekt, i.e.} p_0 = 0.7 \; \text{vs.} \; H_1: \; \text{Es gibt keinen Placeboeffekt} \] Wieder ist meine Teststatistik unter $H_0$ ungefähr standardnormalverteilt \[ T(X) := \sqrt{n}\frac{\bar{X}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)}} \approx N(0,1) \] Welche Daten setze ich aber nun in meine Teststatistik ein? $\bar{x} = 0.7$ kann es ja nicht sein, weil dann wäre $T(x) = 0$ und damit $\mathbb{P}(T(X) \geq 0) = 0.5$, womit ist $H_0$ nicht verwerfen könnte. Was mache ich hier falsch?


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-09-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, nein, du irrst nach wie vor. \(p=0.5\) ist ja die von dir angenommene Wahrscheinlichkeit, mit der Placebo-Effekte auftreten. Die eingesetzten Werte bleiben also in der Teststatistik gleich, denn mit dem Verwechseln der Hypothesen hast du natürlich auch die p-Werte vertauscht. Die \(0.7\) sind doch der tatsächliche Anteil der Patienten, die eine Besserung gezeigt haben, und für diesen Wert willst du testen, ob man ihn noch mittels Placebo erklären kann oder eben nicht. Oder anders: deine Teststatistik passt nicht zu deinen Hypothesen. Von der Sachsituation her will man ja die Vermutung, dass es sich doch um einen Placeboeffekt handelt, hier widerlegen, da dieser Anteilswert eben deutlich höher ist als der p-Wert der Teststatistik bzw. der zugrundeliegenden Binomialverteilung. Und immer die Hypothese, die man gerne verwerfen würde, sollte man ja als Nullhypothese wählen. (Das ist so eine Art goldene Regel bei Hypothesentests.) Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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julian2000P
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-24

Hallo nochmal, dann hätte ich also \[ H_0: \text{Es gibt einen Placebo Effekt, i.e.} p_0 = 0.5 \; \text{vs.} H_1: \text{ Es gibt keinen Placeboeffekt} \] Dann ist die Teststatistik \[ T(X):= \sqrt{n}\frac{\bar{X}-0.5}{\sqrt{0.25}} \approx N(0,1) \] Und damit $\mathbb{P}[T(X) \geq 33.5] \ll 0.05$. Ich verwerfe $H_0$. Die Daten sprechen nicht dafür, dass es einen Placeboeffekt gibt. Ist das jetzt so richtig? Dann verstehe ich nun aber leider nicht mehr, warum es Sinn macht, unter $H_0$, also unter der Annahme, dass es einen Placeboeffekt gibt, $p_0 = 0.5$ zu wählen.


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-09-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, jetzt ist es richtig. \(p_0\) ist ja der Anteilswert deiner angenommenen Verteilung. Da du annimmst, dass die Hälfte der Behandelten einen Placebo-Effekt zeigen, ist es also die Trefferwahrscheinlichkeit der Binomialverteilung, der deine Parameter für den Test entstammen und die durch die Stichprobe gegeben zu überprüfen ist. Die angenommene Verteilung ist also durch deine Vermutung hinsichtlich des Placebo-Effekts gegeben, nicht durch die Stichprobe. Das ist doch bei solchen Tests eigentlich immer so (soweit mir bekannt). Und \(\bar{X}=0.7\) ist ja das Stichprobenmittel. PS: von der Sache her könnte man die Alternativhypothese treffender formulieren. Etwa: \[H_1:\ \text{Der Anteil der Patienten mit einer Besserung der Symptome ist nicht alleine durch den Placeboeffekt zu erklaeren}\] Denn: dieser Effekt spielt ja grundsätzlich immer eine Rolle, auch bei hochwirksamen Medikamenten. Jedenfalls nach den gängigen Annahmen. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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julian2000P
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-25

Hallo Diophant, ich denke, dass ich es nun verstanden habe. Nochmals vielen Dank für deine Hilfe! Grüße


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julian2000P hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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