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Mathematik » Analysis » Tangente einer (Tensor-) Funktion
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Universität/Hochschule Tangente einer (Tensor-) Funktion
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  Themenstart: 2021-09-24

Schönen Abend liebe MMPler, ich bin gerade dabei eine "Tangente" zu bestimmen und muss mir eingestehen, dass ich doch gut aus der Übung gekommen bin. Gegeben sei die Vorschrift \(y:= a \cdot \left[g(\mathrm{tr}(x)) + \mathrm{tr}(x)\right]\cdot\mathbf{I} + 3b\cdot x\) wobei $a,b$ skalare Werte, $\mathbf{I}$ die Identität zweiter Stufe, $g(\cdot)$ eine beliebig oft stetig differenzierbare Funktion, $\mathrm{tr}(\cdot)$ die Spur und $x$ ein Tensor zweiter Stufe bezeichnen. Ich möchte nun die Ableitung in $x$ bestimmen: \(\dot{y} = a \cdot \left[g'(\mathrm{tr}(x))\cdot \mathrm{tr}(\dot{x}) + \mathrm{tr}(\dot{x}) \right]\cdot\mathbf{I} + 3b\cdot \dot{x} \\ = a \cdot \mathrm{tr}(\dot{x}) \cdot \left[g'(\mathrm{tr}(x)) + 1) \right]\cdot\mathbf{I} + 3b\cdot \dot{x} \) Damit müsste doch die Tangente nun gegeben sein durch \("\frac{\dot{y}}{\dot{x}}" \equiv T = a\cdot\left[g'(\mathrm{tr}(x)) + 1) \right]\cdot \mathbf{I}\otimes\mathbf{I} + 3b \cdot \left[0.5(\mathbf{II}+\mathbf{II})\right]\), dabei bezeichnet $\mathbf{II}$ die Identität vierter Stufe und mit $0.5(\mathbf{II}+\mathbf{II})$ ist dann genau nur der symmetrische Anteil der Identität gegeben. Damit ist $T$ ebenfalls ein Tensor vierter Ordnung. Ich würde mich wirklich freuen, wenn da mal jemand drüber schauen könnte.


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