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Schulmathematik » Stochastik und Kombinatorik » Uneindeutiger Hypothesentest
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Schule J Uneindeutiger Hypothesentest
mhipp
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  Themenstart: 2021-09-25

Hi alle zusammen! Den Mathelehrern in BW werden ja bekanntlich Aufgaben zur Verfügung gestellt, die sie mit ihren Schülern machen können. Hier eine solche Aufgabe zu den einseitigen Signifikanztests (Gymnasium Klasse 11/12): Ein Biathlet behauptet, dass er beim Schießen liegend eine Trefferquote von 95% hat. Einige seiner Freunde zweifeln daran. Um seiner Behauptung Nachdruck zu verleihen, gibt er 50 Schüsse ab. Wie viele Treffer muss er mindestens erzielen, damit seiner Behauptung mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von Alpha = 5 % Glauben geschenkt wird? Wenn wir mal von der unsauberen Formulierung was Signifikanzniveau und Irrtumswahrscheinlichkeit angeht absehen, so spricht in diesem Fall in meinen Augen einiges für einen rechtsseitigen Test: 1) Mit einem Hypothesentest soll für gewöhnlich die Alternativhypothese gestützt werden. Laut Aufgabe soll die Behauptung des Biathleten gestützt werden, also sollte die Alternativhypothese sein, dass dieser mit mehr als 95% trifft (was ja in etwa seiner These entspricht... Auch nicht genau, aber "weniger als 95%" ist ja die These seiner Freunde). 2) Die Irrtumswahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, H1 fälschlicherweise Glauben zu schenken. Laut Aufgabe wird seiner Behauptung mit der Irrtumswahrscheinlichkeit von Alpha = 5 % Glauben geschenkt. Auch dies würde bedeuten, dass seine Behauptung H1 entsprechen muss. Führt man nun jedoch einen rechtsseitigen Test durch, kommt man zu dem Ergebnis, dass der Ablehnungsbereich von H0 der leeren Menge entspricht, was keinen Sinn ergibt. Ein linksseitiger Test hingegen liefert einen sinnvollen Ablehnungsbereich. Habe ich etwas Signifikantes übersehen, oder ist die Aufgabe einfach unklar und widersprüchlich gestellt was die Frage angeht, welcher Test genommen werden soll? Danke für eure Antworten und schönen Samstag! Max Hipp


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-25

Hallo mhipp, ich weiß nicht so ganz, was du daran missverständlich findest. Mit der Nullhypothese "Schütze hat eine Trefferquote von mindestens 95%" und der Alternativhypothese "Schütze hat eine kleinere Trefferquote" ist es doch ganz klar ein linksseitiger Test. \quoteon(2021-09-25 13:07 - mhipp im Themenstart) ...Laut Aufgabe soll die Behauptung des Biathleten gestützt werden... \quoteoff Das steht dort aber so nirgends. Das einzige, was man wirklich monieren kann, wenn man sich daran nicht schon längst gewöhnt hat, ist die falsche Verwendung des Begriffs Irrtumswahrscheinlichkeit. Man könnte ja von maximaler Irrtumswahrscheinlichkeit sprechen, dann wäre es korrekt. Der Rest ist die übliche Nachlässigkeit. Zeige mir aber einmal Schüler, die sich an so etwas stören... Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Stochastik und Kombinatorik' von Diophant]


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mhipp
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-25

Hallo! Ein linksseitiger Test liefert den ABL {0;1;...;44}. Das heißt, wenn das Stichprobenergebnis in {45;46;...;50} liegt, wird der Behauptung des Athleten Glauben geschenkt. Die Irrtumsw'keit hierfür ist dann die W'keit, in diesem Bereich zu landen, obwohl eigentlich H1 wahr ist. Im Grenzfall (p=0,95) ist die W'keit für diesen Bereich 0,962. Selbst wenn die wahre W'keit p=0,9 wäre, würde man mit einer W'keit von 0,616 der Behauptung (fälschlicherweise!) Glauben schenken. Die in der Aufgabe geforderte (maximale) Irrtumsw'keit von 5% wird also überhaupt nicht eingehalten. Gruß und Danke!


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Caban
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-09-25

Hallo Für mich ist das ein linksseitiger Test, die Freunde zweifeln daran, als wollen sie >95% verwerfen, damit ist es ein linksseitiger Test. Gruß Caban [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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mhipp
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-25

@Caban: Ja, aber gleichzeitig will der Biathlet die Behauptung stützen, dass es eben nicht weniger als 95% sind. Was nehme ich nun als H1?


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-09-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo mhipp, \quoteon(2021-09-25 13:26 - mhipp in Beitrag No. 2) Hallo! Ein linksseitiger Test liefert den ABL {0;1;...;44}. \quoteoff Ja, habe ich auch so. \quoteon(2021-09-25 13:26 - mhipp in Beitrag No. 2) Die Irrtumsw'keit hierfür ist dann die W'keit, in diesem Bereich zu landen, obwohl eigentlich H1 wahr ist. Im Grenzfall (p=0,95) ist die W'keit für diesen Bereich 0,962. \quoteoff Das ist doch die Wahrscheinlichkeit des Annahmebereichs bei einem linksseitigen Test. Die tasächliche Irrtumswahrscheinlichkeit liegt hier bei \(1-0.962=0.038\). Nach der ist aber in der Aufgabe doch überhaupt nicht gefragt? Wie gesagt: es ist die in der Schulmathemaitik übliche Schludrigkeit, die hier den Begriff des Siginfikanzniveaus nicht durch die korrekte maximale Irrtumswahrscheinlichkeit ersetzt, sondern das Adjektiv unter den Tisch fallen lässt. Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]\(\endgroup\)


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Caban
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-09-25

Hallo Der Biatlet will gar nichts, nur die Freunde wollen wissen, ob sie es glauben können oder nicht. Mit Irrtumswahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit gemeint, dass die Nullhypotese richtig ist, aber abgeleht wird, sie beträgt hier 3,8%. Gruß Caban [Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


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Diophant
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-09-25

\quoteon(2021-09-25 13:26 - mhipp in Beitrag No. 2) Die Irrtumsw'keit hierfür ist dann die W'keit, in diesem Bereich zu landen, obwohl eigentlich H1 wahr ist. \quoteoff Nein, eben nicht! Die Irrtumswarscheinlichkeit ist diejenige Wahrscheinlichkeit, mit der man die Nullhypothese fälschlicherweise verwirft. Das nennt man einen Fehler 1. Art. Vielleicht klärt das ja dein Missverständnis? Gruß, Diophant


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mhipp
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-25

Caban: "Mit Irrtumswahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit gemeint, dass die Nullhypotese richtig ist, aber abgeleht wird" Genau. Mit anderen Worten: dass H1 irrtümlicherweise Glauben geschenkt wird. Frage an beide: Die Aufgabe sagt "Wie viele Treffer muss er mindestens erzielen, damit seiner Behauptung mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von Alpha = 5 % Glauben geschenkt wird?" Diese Formulierung beschreibt den Fehler 1. Art (H1 irrtümlicherweise Glauben schenken), und zwar mit der Behauptung des Biathleten als H1. Man soll ja seiner Behauptung (H1!!) mit einer Irrtumsw'keit von (maximal) 5% Glauben schenken. Allein schon deshalb sollte doch seine Behauptung H1 entsprechen (was, und da stimme ich euch ja zu, dem widerspricht, was man aus dem ersten Absatz herauslesen würde). Ein Thema im Abi ist ja die "Wahl vom H0", wo man u.a. auf der Grundlage von Fehlerformulierungen auf H0 schließen muss. Wendet man diese Technik auf diese Aufgabe an, muss doch H1 zwingend die Behauptung des Biathleten sein, denn im letzten Satz der Aufgabe ist der Fehler erster Art formuliert. Oder nicht?


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Diophant
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-09-25

Hallo mhipp, irgendwie hast du da einen sprachlichen Haken drin. Es geht schlicht und einfach darum, für einen linksseitigen Test die Nullhypothese zu bestätigen bzw. die Alternativhypothese der Freunde des Biathleten zu widerlegen. \quoteon(2021-09-25 13:54 - mhipp in Beitrag No. 8) Ein Thema im Abi ist ja die "Wahl vom H0", wo man u.a. auf der Grundlage von Fehlerformulierungen auf H0 schließen muss. Wendet man diese Technik auf diese Aufgabe an, muss doch H1 zwingend die Behauptung des Biathleten sein, denn im letzten Satz der Aufgabe ist der Fehler erster Art formuliert. \quoteoff Wie oft soll ich es denn noch schreiben: mit Irrtumswahrscheinlichlkeit ist hier eindeutig das Signifikanzniveau gemeint. Und es muss genau andersherum sein: die Behauptung des Biathleten ist die Nullhypothese und sie wird durch die Alternativhypothese der Freunde in Zweifel gezogen. Soweit ist das also im wahrsten Sinne des Wortes eine Aufgabe aus dem Lehrbuch. Gruß, Diophant


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mhipp
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-25

Ein Bespiel hierzu aus dem Abitur 2021, Wahlteil: "Jemand vermutet, dass die Wahrscheinlichkeit für rot [bei einem Glücksrad] in Wirklichkeit geringer als 60% ist. Deshalb soll ein Hypothesentest durchgeführt werden. Dabei soll möglichst vermieden werden, dass irrtümlich von einer zu hohen Wahrscheinlichkeit für rot ausgegangen wird. Formulieren Sie eine Nullhypothese, die dieser Zielsetzung entspricht, und begründen Sie Ihre Wahl." Aus der Aussage "Jemand vermutet, dass die Wahrscheinlichkeit für rot [bei einem Glücksrad] in Wirklichkeit geringer als 60% ist." würde man ja instinktiv H1: p<0,6 herauslesen, da dies gestützt werden soll. Tatsächlich lässt sich aber aus der Fehlerbeschreibung danach schließen, dass H1: p>0,6 sein muss, was der "Faustregel", man solle das als H0 nehmen, was verworfen werden soll, widerspricht. So sehe ich das auch bei der von mir vorgestellten Aufgabe. Die Faustregel legt einen linksseitigen Test nahe, die Fehlerformulierung danach aber einen rechtsseitigen. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]


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mhipp
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-25

@Diophant: dass mit Irrtumsw'keit das Signifikanzniveau gemeint ist, ist mir ja klar. Aber wenn wir die Behauptung des Biathleten als H0 verwenden, dann wird, wie ich bereits vorgerechnet habe, seiner Behauptung nicht mit einer Irrtumsw'keit von maximal 5% Glauben geschenkt. Im Gegenteil, wenn die Behauptung des Biathleten H0 ist, dann wird doch der Behauptung der Freunde (H1) mit einer max. Irrtumsw'keit von 5% Glauben geschenkt, also gerade nicht das, was die Aufgabe verlangt.


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Diophant
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  Beitrag No.12, eingetragen 2021-09-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2021-09-25 14:01 - mhipp in Beitrag No. 10) Ein Bespiel hierzu aus dem Abitur 2021, Wahlteil: "Jemand vermutet, dass die Wahrscheinlichkeit für rot [bei einem Glücksrad] in Wirklichkeit geringer als 60% ist. Deshalb soll ein Hypothesentest durchgeführt werden. Dabei soll möglichst vermieden werden, dass irrtümlich von einer zu hohen Wahrscheinlichkeit für rot ausgegangen wird. Formulieren Sie eine Nullhypothese, die dieser Zielsetzung entspricht, und begründen Sie Ihre Wahl." \quoteoff Nullhypothese: Glücksrad zeigt rot mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60%. Alternativhypothese: Glücksrad zeigt rot mit einer geringeren Wahrscheinlichkeit. Die Nullhypothese wird zuersteinmal angenommen, jedoch durch die Alternativhypothese infrage gestellt. Hier fehlt aber etwas ganz grundsätzliches: die Art der Verteilung. Soll es eine Binomialverteilung sein, dann müsste noch angegeben sein, wie oft das Rad für den Test gedreht wird. Bei Normalverteilung gilt das gleiche, oder Standardabweichung bzw. Varianz wären irgendwo noch angegeben. \quoteon(2021-09-25 14:01 - mhipp in Beitrag No. 10) Tatsächlich lässt sich aber aus der Fehlerbeschreibung danach schließen, dass H1: p>0,6 sein muss, was der "Faustregel", man solle das als H0 nehmen, was verworfen werden soll, widerspricht. \quoteoff Nein, wieso denn? Wie gesagt, da liegt irgendwo eine falsche Vorstellung bei dir vor, die du nicht so richtig ausdrücken kannst. Die 60% sind ja hier der Erwartungswert der angenommenen Verteilung und haben mit der Irrtumswahrscheinlichkeit ersteinmal nichts zu tun. \quoteon(2021-09-25 14:05 - mhipp in Beitrag No. 11) Aber wenn wir die Behauptung des Biathleten als H0 verwenden, dann wird, wie ich bereits vorgerechnet habe, seiner Behauptung nicht mit einer Irrtumsw'keit von maximal 5% Glauben geschenkt. \quoteoff Doch. Denn für die Binomialverteilung \(B(50,0.95)\) ist \(P(X\le 44)\approx 0.038<0.05\). \quoteon(2021-09-25 14:05 - mhipp in Beitrag No. 11) Im Gegenteil, wenn die Behauptung des Biathleten H0 ist, dann wird doch der Behauptung der Freunde (H1) mit einer max. Irrtumsw'keit von 5% Glauben geschenkt, also gerade nicht das, was die Aufgabe verlangt. \quoteoff Warum denn nicht? Ich kann es wirklich nicht nachvollziehen, was du hier meinst. Verwechselst du auch hier den Erwartungswert mit den Warscheinlichkeiten der betreffenden Bereiche? Am besten die Materie nochmal irgendwo nachlesen. Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]\(\endgroup\)


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Caban
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  Beitrag No.13, eingetragen 2021-09-25

Hallo \quoteon(2021-09-25 14:05 - mhipp in Beitrag No. 11) Im Gegenteil, wenn die Behauptung des Biathleten H0 ist, dann wird doch der Behauptung der Freunde (H1) mit einer max. Irrtumsw'keit von 5% Glauben geschenkt, also gerade nicht das, was die Aufgabe verlangt. \quoteoff Doch genauso ist die Aufgabe gemeint. Gruß Caban Bei der neuen Aufgabe würde ich eigentlich >60% als Nullhypothese nehmen. Durch den Zusatz "Dabei soll möglichst vermieden werden, dass irrtümlich von einer zu hohen Wahrscheinlichkeit für rot ausgegangen wird." würde ich aber doch p<60% wählen. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]


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mhipp
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@Diophant "Nullhypothese: Glücksrad zeigt rot mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60%. Alternativhypothese: Glücksrad zeigt rot mit einer geringeren Wahrscheinlichkeit. Die Nullhypothese wird zuersteinmal angenommen, jedoch durch die Alternativhypothese infrage gestellt." Nein, eben nicht. Ich habe in den Lösungen nachgeschaut und meine beschriebene Lösung stimmt. In der Aufgabe ist der Fehler 1. Art beschrieben, wodurch die Nullhypothese eindeutig durch p<=0,6 definiert wird. Das ist die Lösung, die ich hingeschrieben hätte und die auch in den Lösungen zu finden ist. Übrigens: Ein Stichprobenumfang war natürlich im einleitenden Text gegeben, den hab ich weggelassen, da er für die Wahl von H0 irrelevant ist :) "Doch. Denn für die Binomialverteilung B(50,0.95) ist P(X≤44)≈0.038<0.05." Was du berechnest, ist doch die Wahrscheinlichkeit, dass man NICHT von seiner Behauptung ausgeht, obwohl diese wahr ist (die W'keit, im ABL zu landen, obwohl p=0,95). Der Satz "man schenkt seiner Behauptung mit einer Irtumsw'keit von maximal 5% Glauben" bezieht sich aber meiner Meinung nach auf die Wahrscheinlichkeit, dass man der Behauptung des Biathleten glaubt, obwohl diese falsch ist, also ganau andersrum. Und diese Wahrscheinlichkeit (ihm glauben, obwohl er falsch liegt), liegt wenn z.B. p=0,9 (also unter 0,95) wie bereits berechnet bei 0,616, also noch deutlich über 0,05. Grüße!


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Diophant
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  Beitrag No.15, eingetragen 2021-09-25

Hallo, \quoteon(2021-09-25 17:00 - mhipp in Beitrag No. 14) "Nullhypothese: Glücksrad zeigt rot mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60%. Alternativhypothese: Glücksrad zeigt rot mit einer geringeren Wahrscheinlichkeit. Die Nullhypothese wird zuersteinmal angenommen, jedoch durch die Alternativhypothese infrage gestellt." Nein, eben nicht. Ich habe in den Lösungen nachgeschaut und meine beschriebene Lösung stimmt. \quoteoff Das bedeutet ja nicht, dass es andersherum nicht ebenfalls geht. Die Aufgabenformulierung mit dem Wort "möglichst" ist in einer Abituraufgabe ja schon ein ziemlicher sprachlicher Offenbarungseid und vor allem ist sie juristisch nicht bindend. Ich wollte dir also zeigen, dass es so herum genauso geht. \quoteon(2021-09-25 17:00 - mhipp in Beitrag No. 14) In der Aufgabe ist der Fehler 1. Art beschrieben, wodurch die Nullhypothese eindeutig durch p<=0,6 definiert wird. \quoteoff Wie gesagt, das wird doch nur durch diese unglückliche Formulierung: \quoteon(Abituraufgabe 2021) Dabei soll möglichst vermieden werden, dass irrtümlich von einer zu hohen Wahrscheinlichkeit für rot ausgegangen wird. \quoteoff nahegelegt. \quoteon(2021-09-25 17:00 - mhipp in Beitrag No. 14) Was du berechnest, ist doch die Wahrscheinlichkeit, dass man NICHT von seiner Behauptung ausgeht, obwohl diese wahr ist... \quoteoff Nein. Das hieße ja, dass man irgendwie auswürfelt, ob man die Hypothese jetzt beibehält oder verwirft. Das angegebene ist die Wahrscheinlichkeit des Ablehnungsbereichs. Angenommen, unser Schütze trifft bei 50 Schuss nur 44-mal (oder noch weniger) und wir verwerfen die Nullhypothese. Dann ist das die maximale Wahrscheinlichkeit, dass wir damit falsch liegen bzw. einen Fehler 1. Art begehen. Gruß, Diophant


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mhipp
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Guten Morgen! Ich verstehe deinen Kritikpunkt mit "möglichst", aber ich finde das insofern dennoch bindend, dass man bei deiner Wahl von H0 (in der Abiaufgabe) nicht sein "Möglichstes" getan hat, den beschriebenen Fehler zu vermeiden. Ich finde die Aufgabe daher zwar ziemlich gemein und verwirrend, aber dennoch korrekt formuliert. Was meine ursprüngliche Frage angeht danke ich auch für alle Antworten und Geduld, aber ich habe das Gefühl, wir drehen uns im Kreis bzw. mindestens ich verstehe deine Argumente nicht so ganz. Ich glaube nach wie vor, die Fehlerbeschreibung am Ende suggeriert einen rechtsseitigen Test. Ich werde mir noch einmal selbst Gedanken machen, danke jedenfalls! Gruß und schönen Sonntag! :-)


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Diophant
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  Beitrag No.17, eingetragen 2021-09-26

Hallo, wie gesagt: ich glaube, dass das ganze auf einer falschen Vorstellung deinerseits hinsichtlich des Fehlers 1. Art beruht. Siehe dazu Beitrag #15 (der wichtige Teil am Ende...): \quoteon(2021-09-25 17:14 - Diophant in Beitrag No. 15) Angenommen, unser Schütze trifft bei 50 Schuss nur 44-mal (oder noch weniger) und wir verwerfen die Nullhypothese. Dann ist das die maximale Wahrscheinlichkeit, dass wir damit falsch liegen bzw. einen Fehler 1. Art begehen. \quoteoff Gruß, Diophant


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  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-26

Ich mache mir Gedanken und melde mich ggfs. nochmal. Denn eigentlich weiß ich, was der Fehler erster Art ist und bin mir relativ sicher, ihn in diesem Fall wie auch in der Abiaufgabe richtig interpretiert zu haben... aber wie gesagt, ich denke! Danke an alle Beteiligten!


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Diophant
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Hallo, mit Verlaub: wenn du mir bei dem Beispiel mit den 44 Treffern nicht zustimmen kannst, dann hat du den Fehler 1. Art oder auch das ganze Konzept der Hypothesentests eben noch nicht komplett verstanden. \quoteon(2021-09-26 19:06 - mhipp in Beitrag No. 18) Ich mache mir Gedanken und melde mich ggfs. nochmal. \quoteoff Ja, mache das gerne! Gruß, Diophant


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