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  Aus Pol hebbare Singularität |
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LamyOriginal
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 |  Themenstart: 2021-09-26
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Hallo, ich habe schon wieder eine Frage in Funktionentheorie... diesmal zum Beweis der Partialbruchzerlegung meromorpher Funktionen.
Vorab unsere Definition des mittag-lefflerschen Teilbruchsatzes: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/50806_Bild2.png
Hier der Satz: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/50806_Bild_9.jpg
$\textbf{Beweis:}$ Wir definieren eine in $D$ meromorphe Funktion $h$ wie im mittag-lefflerschen Teilbruchsatz. Dann ist $g := f −h$ holomorph in $D$ (beachte dabei, dass jeder Pol von $f$ bzw. $h$ eine hebbare Singularität von $g$ ist) und die Behauptung folgt.
Kann mir bitte einer erklären, warum jeder Pol von $f$ bzw. $h$ eine hebbare Singularität von $g$ ist? Hat es was mit der Charakterisierung der isolierten Singularitäten durch die Laurententwicklung zu tun? $f$ und $h$ sind doch beides meromorphe Funktionen mit den Polen $a_1, a_2, ...$ und dem Hauptteil $R_n$, oder? Warum ist die Differenz auf einmal eine holomorphe Funktion mit hebbaren Singularitäten in den Polen?
Danke! :)
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nzimme10
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-26
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
eventuell überlese ich etwas, aber ich bin mir mit deinen Angaben nicht sicher, was genau $h$ sein soll.
LG Nico
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Funktionentheorie' von nzimme10]\(\endgroup\)
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LamyOriginal
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-26
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\quoteon
eventuell überlese ich etwas, aber ich bin mir mit deinen Angaben nicht sicher, was genau $h$ sein soll. \quoteoff
Hallo,
ich habe die Sätze und Beweise 1:1 aus dem Skript abgeschrieben und ich glaube $h$ soll wie das $f$ im mittag-lefferschen Teilbruchsatz sein. LG
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nzimme10
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-09-26
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Hallo,
okay, dann würde ich mir an deiner Stelle mal den Beweis des Satzes von Mittag-Leffler ansehen. Da sollte so eine Funktion ja konstruiert worden sein.
LG Nico
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LamyOriginal
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-26
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\quoteon(2021-09-26 13:06 - nzimme10 in Beitrag No. 3)
okay, dann würde ich mir an deiner Stelle mal den Beweis des Satzes von Mittag-Leffler ansehen. Da sollte so eine Funktion ja konstruiert worden sein. \quoteoff
Hmm vielleicht ist dieses Beispiel etwas zu weitgreifend für meine Frage...
Es gilt ja, dass wenn $z_0 \in D$ ein m-facher Pol einer in $D$ holomorphe Funktion $f$ ist, es dann eine in $D$ holomorphe Funktion $g$ mit $g(z_0)\neq 0$ und $f(z) =\frac{g(z)}{(z-z_0)^m}$ gibt. Also wenn $f$ einen $\textbf{einfachen}$ Pol in $z_0$ hat, so sei $g(z):=(z-z_0)f(z)$ für $z \in U_r(z_0)\backslash \{z_0\}$. Im Skript steht jetzt, dass $g$ dann eine hebbare Singularität in $z_0$ hat mit $g(z_0) \neq 0$. Warum genau hat $g$ da eine hebbare Singularität, wenn $f$ dort einen einfachen Pol hat?
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nzimme10
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-09-26
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Nun, wenn
$$
g(z)=(z-z_0)f(z)
$$
gilt und $f$ einen einfachen Pol in $z_0$ hat, dann gibt es ein holomorphes $h$ mit $h(z_0)\neq 0$ und
$$
f(z)=\frac{h(z)}{z-z_0}.
$$
Folglich hat man für $z\neq z_0$
$$
g(z)=(z-z_0)f(z)=(z-z_0)\frac{h(z)}{z-z_0}=h(z).
$$
Mit $\tilde g(z_0):=h(z_0)\neq 0$ hat man dann eine offenbar holomorphe Fortsetzung von $g$. (Hier sieht man nochmal, dass Nullstellen und Pole gewissermaßen Gegensätze sind. Die einfache Nullstelle von $z-z_0$ hebt den einfachen Pol von $f$ auf).
LG Nico\(\endgroup\)
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LamyOriginal
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-26
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Nochmal vielen vielen Dank für die verständlichen und schnellen Antworten! :)
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LamyOriginal
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-28
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Hallo, ich habe noch eine letzte Frage zu dem Thema:
Wir haben den Satz zur Charakterisierung von Polen (ist der "Gegensatz" zu Nullstellen), da habe ich noch noch ganz verstanden warum im Beweis Funktionen hebbare Singularitäten haben (ich habe diese stellen dick markiert).
$\underline{Satz:}$ Es sei $D \subset C$ ein Gebiet, $z_0 \in D$ und $f$ holomorph in $D \backslash \{z_0\}$. $f$ hat in $z_0$ einen Pol genau dann, wenn es ein $m \in \mathbb{N}$ und eine in $D$ holomorphe Funktion $g$ gibt mit $g(z_0)\neq 0$ und $f(z) = g(z)(z − z_0)^m$.
$\underline{Beweis:}$ Wenn $f$ in $z_0$ einen Pol hat, so gibt es ein $R > 0$ mit $U_R(z_0) \subset D$ und $f(z) \neq 0$ für alle $z \in U_R(z_0)$. Definieren wir $h: U_R(z_0) \rightarrow \mathbb{C}$ durch $h(z) := [f(z)]^{−1}$ für $z ∈ U_R(z_0)$ und $h(z_0) = 0$, so ist $h$ holomorph in $U_R(z_0)$ und stetig in $z_0$. Also hat $h$ eine $\textbf{hebbare
Singularität}$ in $z_0$ und ist somit holomorph in $U_R(z_0)$. (***$\textbf{Frage von mir:}$ 1. warum genau haben wir $h$ so formuliert? Weil $z_0$ dann eine Nullstelle ist und deswegen gilt auch $h(z_0) = 0$? 2. warum hat $h$ eine hebbare Singularität? $h$ ist stetig in $z_0$ (okay), aber warum heißt es dann auf einmal, dass $h$ holomorph ist? Ist nicht die Fortsetzung $\tilde h$ dort holomorph?***).
Dann gibt es ein $m \in \mathbb{N}$ und eine in $U_R(z_0)$ holomorphe Funktion $h_1$ mit $h(z) =(z−z_0)^m h_1(z)$ für alle $z \in U_R(z_0)$ und $h_1(z_0) \neq 0$. Damit hat die Funktion $(z−z_0)^m f(z) =[h_1(z)]^{−1}$
eine $\textbf{hebbare Singularität}$ in $z_0$ (***warum??***). Definieren wir $g(z) := (z − z_0)^mf(z)$ für $z \in D$, so folgt die Behauptung (***warum folgt aufeinmal die Behauptung, also warum hat $f$ einen Pol in $z_0$ wenn wir ein $g$ haben mit einer hebbaren Singularität in $z_0$ ?***).
Danke!
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nzimme10
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| Beitrag No.8, eingetragen 2021-09-28
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Hallo,
Der von dir geschriebene Beweis ist im Prinzip exakt der Beweis, den ich im anderen Thread mit dir erarbeitet habe. Lass uns diese Fragen also am besten auch dort klären.
LG Nico
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LamyOriginal hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
LamyOriginal hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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