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  Beweis, dass eine Menge eine Mengenalgebra ist |
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 |  Themenstart: 2021-09-26
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Hallo Zusammen
Ich habe folgende Aufgabe.
Zeigen sie, ob $$B:=\{A\subset \mathbb{R}|A\,\,oder\,\,A^c\,\,endlich\,\,ist\}$$
eine Algebra ist.
Beim ersten mal lösen bin ich darauf gekommen, dass B keine Algebra ist, doch als ich es mir nochmals angeschaut habe, merkte ich dass ich ein Fehler gemacht habe. Ich bin der Meinung dass diese Menge eine Algebra darstellt, denn:
1)
Die leere Menge ist in B
2)
Wir nehmen \(A\in B\). A kann entweder endlich sein oder nicht.
Wenn A endlich ist, dann bemerken wir, dass \(A^c\) nicht endlich ist, aber \((A^c)^c=A\) ist aber endlich, daher ist \(A^c\) in B.
Wenn A nicht endlich ist, so muss \(A^c\) endlich sein.
Daraus folgt dass B abgeschlossen bezüglich des Kompliment ist
3)
Wählen wir \(U,V\subset B\).
Wenn U,V beide endlich sind, dass ist \(U\cup V\) per auch endlich.
Wenn U,V beide unendlich sind, das heisst aber dass \(U^c,V^c\) endlich sein müssen. Nun betrachten wir \(U\cup V=(U^c\cap V^c)^c\). Hier wissen wir dass der Durchschnitt zweier endlichen Mengen auch endlich ist, das heisst \(Q:=(U^c\cap V^c)\) ist endlich, doch nun betrachten wir \(Q^c=\mathbb{R}-Q\). Diese Menge ist nun aber unendlich an sich. Doch wenn wir \(Q^c\) betrachten so ist diese Menge endlich. Das heisst \(U\cup V\in B\)
Wenn U endlich und V unendlich ist, heisst das, dass \(V^c\) endlich sein muss. Wir betrachtet erneut \(U\cup V=(U^c\cap V^c)^c\). Da der Durchschnitt einer beliebigen Menge mit einer endlichen Menge immer Endlich ist, bemerken wir, dass \(W:=U^c\cap V^c\) endlich ist. Nun betrachten wir \(W^c\) und sehen dass diese unendlich ist. Doch per Definition darf auch \((W^c)^c\) endlich sein, was es auch ist, das heisst \(U\cup V\in B\)
Aus dieser Argumentation bin ich nun der Meinung dass B eine Algebra ist.
Könnte sich das aber kurz jemand anschauen?
Vielen Dank
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Diophant
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-27
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
zwar ist dein Ergebnis richtig, wonach es sich um eine Mengenalgebra handelt. Beim Nachweis ist dir aber ein gravierender Denkfehler unterlaufen:
\quoteon(2021-09-26 17:42 - Strandkorb im Themenstart)
Wenn A nicht endlich ist, so muss \(A^c\) endlich sein.
\quoteoff
Wieso sollte das der Fall sein?
Du hast richtig erkannt, dass \(\emptyset\in B\) ist und mit \(U\in B\) auch \(U^C\in B\) gilt.
Spiele jetzt einmal für \(U,V\in B\) die einzelnen Fälle für die Vereinigungsmenge \(U\cup V\) nocheinmal durch und passe deine Argumentation so an, dass die obige falsche Schlussfolgerung dort nicht mehr vorkommt.
PS: es kann auch sein, dass ich dich falsch verstanden habe. Jedenfalls solltest du deine dann eventuell richtige Argumentation noch so umformulieren, dass man sie nicht dahingehend missverstehen kann, dass generell aus \(A\subset \IR\) unendlich \(A^C\) endlich folgt.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Maßtheorie' von Diophant]\(\endgroup\)
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-27
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Hallo Diophant
Vielen Dank!
Also was ich meinte ist, wenn ich \(U\in B\) wähle und U unendlich ist, dann muss ja \(U^c\) endlich sein, sonst wäre ja U nicht in B. Also so meinte ich das. Muss ich dann unter dieser Annahme immer noch Teil 3) im Beweis umschreiben?
Vielen Dank für die Antwort.
Wenn ja geht es so? Ich habe die geänderten Abschnitte mit (NEU) gekennzeichnet.
1)
Die leere Menge ist in B
2)
Wir nehmen \(A\in B\). A kann entweder endlich sein oder nicht.
(NEU)
Wenn A endlich ist, dann können wir nichts über \(A^c\) sagen, aber wir wissen dass \((A^c)^c=A\) wieder endlich ist, das heisst \(A^c\in B\)
(NEU)
Wenn A nicht endlich ist, so muss \(A^c\) endlich sein, sonst ist \(A\not \in B\).
Daraus folgt dass B abgeschlossen bezüglich des Kompliment ist.
3)
Wählen wir \(U,V\subset B\).
Wenn U,V beide endlich sind, dass ist \(U\cup V\) per auch endlich.
(NEU)
Wenn U,V beide unendlich sind, das heisst aber dass \(U^c,V^c\) endlich sein müssen, sonst wäre \(U,V\not \in B\) . Nun betrachten wir \(U\cup V=(U^c\cap V^c)^c\). Hier wissen wir dass der Durchschnitt zweier endlichen Mengen auch endlich ist, das heisst \(Q:=(U^c\cap V^c)\) ist endlich, doch nun betrachten wir \(Q^c=\mathbb{R}-Q\). Diese Menge ist nun aber unendlich an sich. Doch wenn wir \((Q^c)^c\) betrachten so ist diese Menge endlich. Das heisst \(U\cup V\in B\)
Wenn U endlich und V unendlich ist, heisst das, dass \(V^c\) endlich sein muss, sonst wäre \(V\not \in B\). Wir betrachtet erneut \(U\cup V=(U^c\cap V^c)^c\). Da der Durchschnitt einer beliebigen Menge mit einer endlichen Menge immer Endlich ist, bemerken wir, dass \(W:=U^c\cap V^c\) endlich ist. Nun betrachten wir \(W^c\) und sehen dass diese unendlich ist. Doch per Definition darf auch \((W^c)^c\) endlich sein, was es auch ist, das heisst \(U\cup V\in B\)
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Diophant
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-09-27
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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Hallo nochmals,
mit den Formulierungen ist es ja immer auch ein wenig Geschmacksache. Ich fand es beim schnellen Durchlesen missverständlich bzw. ich hatte es zunächst missverstanden, was aber auch an mir liegen kann.
Generell denke ich, dass du hier zuviel Aufwand betreibst und damit u.U. Verwirrung stiftest. Die Grundideen sind aber richtig.
\quoteon(2021-09-27 15:38 - Strandkorb in Beitrag No. 2)
1)
Die leere Menge ist in B
\quoteoff
Ja, das ist ein klarer Fall, und man muss ihn IMO auch nicht weiter begründen.
\quoteon(2021-09-27 15:38 - Strandkorb in Beitrag No. 2)
2)
Wir nehmen \(A\in B\). A kann entweder endlich sein oder nicht.
(NEU)
Wenn A endlich ist, dann können wir nichts über \(A^c\) sagen, aber wir wissen dass \((A^c)^c=A\) wieder endlich ist, das heisst \(A^c\in B\)
(NEU)
Wenn A nicht endlich ist, so muss \(A^c\) endlich sein, sonst ist \(A\not \in B\).
Daraus folgt dass B abgeschlossen bezüglich des Kompliment ist.
\quoteoff
Kann man so machen. Die kürzeste Version wäre hier m.E. nach aber einfach die, dass die Abgeschlossenheit bzgl. des Komplements bereits nach Definition von B gegeben ist (man könnte ja noch kurz anmerken, dass dies wegen \((A^c)^c=A\) der Fall ist).
\quoteon(2021-09-27 15:38 - Strandkorb in Beitrag No. 2)
3)
Wählen wir \(U,V\subset B\).
Wenn U,V beide endlich sind, dass ist \(U\cup V\) per auch endlich.
(NEU)
Wenn U,V beide unendlich sind, das heisst aber dass \(U^c,V^c\) endlich sein müssen, sonst wäre \(U,V\not \in B\) . Nun betrachten wir \(U\cup V=(U^c\cap V^c)^c\). Hier wissen wir dass der Durchschnitt zweier endlichen Mengen auch endlich ist, das heisst \(Q:=(U^c\cap V^c)\) ist endlich, doch nun betrachten wir \(Q^c=\mathbb{R}-Q\). Diese Menge ist nun aber unendlich an sich. Doch wenn wir \((Q^c)^c\) betrachten so ist diese Menge endlich. Das heisst \(U\cup V\in B\)
Wenn U endlich und V unendlich ist, heisst das, dass \(V^c\) endlich sein muss, sonst wäre \(V\not \in B\). Wir betrachtet erneut \(U\cup V=(U^c\cap V^c)^c\). Da der Durchschnitt einer beliebigen Menge mit einer endlichen Menge immer Endlich ist, bemerken wir, dass \(W:=U^c\cap V^c\) endlich ist. Nun betrachten wir \(W^c\) und sehen dass diese unendlich ist. Doch per Definition darf auch \((W^c)^c\) endlich sein, was es auch ist, das heisst \(U\cup V\in B\)
\quoteoff
Alternativvorschlag:
Es seien \(U,V\in B\) und wir betrachten \(U\cup V\) sowie \((U\cup V)^c=U^c\cap V^c\).
- sind \(U\) und \(V\) endlich, dann auch \(U\cup V\).
- ist \(U\) endlich aber \(V\) unendlich, dann ist (wegen \(V\in B\)) \(V^c\) endlich und wir haben \(U^c\cap V^c\) endlich.
- sind sowohl \(U\) als auch \(V\) unendlich, dann ist wiederum wegen \(U,V\in B\) auch hier das Komplement \(U^c\cap V^c\) endlich.
Also gilt \(U\cup V\in B\). Was zu zeigen war.
PS: es heißt Komplement. 😉
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-27
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Hallo Diophant
Vielen Dank für die ausführliche Antwort.
Ja dein Weg ist ein wenig eleganter und vermeidet Missverständnisse.
Nochmals vielen Dank jetzt ist vieles klarer!!
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