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Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » GL(n) ist eine affine Varietät
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Universität/Hochschule J GL(n) ist eine affine Varietät
LineareAlgebruh
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  Themenstart: 2021-09-27 15:10

\(\begingroup\)\(%%%%%%%%%%%% mathematical bold  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\bA}{\mathbb{A}} \newcommand{\bB}{\mathbb{B}} \newcommand{\bC}{\mathbb{C}} \newcommand{\bD}{\mathbb{D}} \newcommand{\bE}{\mathbb{E}} \newcommand{\bF}{\mathbb{F}} \newcommand{\bG}{\mathbb{G}} \newcommand{\bH}{\mathbb{H}} \newcommand{\bI}{\mathbb{I}} \newcommand{\bJ}{\mathbb{J}} \newcommand{\bK}{\mathbb{K}} \newcommand{\bL}{\mathbb{L}} \newcommand{\bM}{\mathbb{M}} \newcommand{\bN}{\mathbb{N}} \newcommand{\bO}{\mathbb{O}} \newcommand{\bP}{\mathbb{P}} \newcommand{\bQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\bR}{\mathbb{R}} \newcommand{\bS}{\mathbb{S}} \newcommand{\bT}{\mathbb{T}} \newcommand{\bU}{\mathbb{U}} \newcommand{\bV}{\mathbb{V}} \newcommand{\bW}{\mathbb{W}} \newcommand{\bX}{\mathbb{X}} \newcommand{\bY}{\mathbb{Y}} \newcommand{\bZ}{\mathbb{Z}} %%%%%%%%% calligraphic %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} %%%%%%%%%%%%% mathematical fraktur  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\fA}{\mathfrak{A}} \newcommand{\fB}{\mathfrak{B}} \newcommand{\fC}{\mathfrak{C}} \newcommand{\fD}{\mathfrak{D}} \newcommand{\fE}{\mathfrak{E}} \newcommand{\fF}{\mathfrak{F}} \newcommand{\fG}{\mathfrak{G}} \newcommand{\fH}{\mathfrak{H}} \newcommand{\fI}{\mathfrak{I}} \newcommand{\fJ}{\mathfrak{J}} \newcommand{\fK}{\mathfrak{K}} \newcommand{\fL}{\mathfrak{L}} \newcommand{\fM}{\mathfrak{M}} \newcommand{\fN}{\mathfrak{N}} \newcommand{\fO}{\mathfrak{O}} \newcommand{\fP}{\mathfrak{P}} \newcommand{\fQ}{\mathfrak{Q}} \newcommand{\fR}{\mathfrak{R}} \newcommand{\fS}{\mathfrak{S}} \newcommand{\fT}{\mathfrak{T}} \newcommand{\fU}{\mathfrak{U}} \newcommand{\fV}{\mathfrak{V}} \newcommand{\fW}{\mathfrak{W}} \newcommand{\fX}{\mathfrak{X}} \newcommand{\fY}{\mathfrak{Y}} \newcommand{\fZ}{\mathfrak{Z}} %%%%%%%%%%    Math operators    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \DeclareMathOperator{\Id}{Id}             % identity morphism % \DeclareMathOperator{\ker}{ker}           % kernel \DeclareMathOperator{\rg}{rg}             % Rang \DeclareMathOperator{\defekt}{def}        % Defekt \DeclareMathOperator{\im}{im}             % image \DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}           % homomorphisms \DeclareMathOperator{\End}{End}           % endomorphisms \DeclareMathOperator{\Span}{Span}         % linear span %%%%%%%%%%   Anderes Zeug :D   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\C{\mathbb{C}} \def\R{\mathbb{R}} \def\K{\mathbb{K}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\N{\mathbb{N}} \def\H{\mathbb{H}} \def\e{\varepsilon}\) Hallo. Ich lerne gerade ein bisschen algebraische Geometrie und hänge ein bisschen an den grundlegenden Definitionen fest. Dort wird gesagt, dass es sich bei GL(n) um eine affine Varietät handelt, jedoch ist mir nicht ganz klar, wieso. Ich lese das Buch Algebraic Geometry von J. Harris, gibts auch kostenlos im Internet: http://userpage.fu-berlin.de/aconstant/Alg2/Bib/Harris_AlgebraicGeometry.pdf Dort heisst es (S. 114): https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52110_Bildschirmfoto_vom_2021-09-27_14-44-03.png Ich habe verstanden, dass die Menge der singulären Matrizen geschlossen ist im $A^{n^2}$, denn genau sie setzt die Determinante (was ja ein Polynom ist) auf 0. Somit ist das Komplement, also die Menge der regulären Matrizen, offen im $A^{n^2}$. Wieso heisst es dann plötzlich, dass es doch eine affine Varietät ist? Affine Varietät bedeutet doch, dass GL(n) genau die Nullstellenmenge einer Menge von Poylnomen sein muss, und es ist ja gerade das Komplement einer solchen Menge?! Ich habe online ein bisschen zu gelesen, und da hiess es, dass GL(n) zwar in $A^{n^2}$ offen ist, aber in $A^{n^2+1}$ geschlossen sei. Das verstehe ich nicht ganz. Wir können eine nxn-Matrix $A$ mit einem n²-Vektor $(a_1, a_2, ... ,a_{n^2})$ identifizieren, und wenn wir das Polynom $P(a_1, a_2, ... ,a_{n^2},a_{n^2+1}) = \det(A) \cdot a_{n^2+1} - 1$ betrachten, dann sehen wir dass $P$ genau dann eine Nullstelle hat, wenn $A$ invertierbar ist und $a_{n^2+1} = \frac{1}{\det(A)}$ gilt. Ums kurz zu fassen schreibe ich statt $(a_1, ... ,a_{n^2}+1)$ einfach mal $(A,a_{n^2+1})$, dann ist also die Menge $\{(A, \frac{1}{\det(A)}): A \text{ invbar}\}$ geschlossen im $A^{n^2+1}$, nun frage ich mich aber, wie daraus folgen soll, dass GL(n) abgeschlossen im $A^{n^2+1}$ liegt. Mir fällts schwer mir vorzustellen, wie GL(n) überhaupt aussieht im $A^{n^2+1}$. Womit wird GL(n) in $A^{n^2+1}$ identifiziert? Ich stehe hier etwas auf dem Schlauch\(\endgroup\)


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Kezer
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-27 15:38

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\) Der entscheidende Punkt ist, dass es "distinguished open" in einer affinen Varietät ist. Solche offene Untervarietäten sind immer affin, gegeben durch eine Lokalisierung. Ich kenne mich nicht mit Harris' Buch aus, aber das scheint auf S. 19 beschrieben zu sein. Zu deiner zweiten Frage wird prinzipiell $\GL_n(K)$ mit $\{(A, \det(A)^{-1}): \det{A} \neq 0 \} = V(P)$ identifiziert. Eine invertierbare Matrix kommt kanonisch mit $\det(A)^{-1}$, also ist das keine zusätzliche Information. Zusammenfassend passiert algebraisch das: Um invertierbare Matrizen zu erhalten, brauchen wir eine invertierbare Determinante. Das wird erreicht, indem man an dem Polynom $\det \in k[x_{ij}:1\leq i,j \leq n]$ zugehörig zur Determinante lokalisiert. Eine solche Lokalisierung kann man aber auch als Quotient darstellen: \[ k[x_{ij} : 1 \leq i,j \leq n]_{\det} \cong k[y, x_{ij} : 1 \leq i,j \leq n]/(y \det - 1). \] Das ist die entsprechende Beschreibung als abgeschlossene Untervarietät. Und das ist im Großen und Ganzen auch schon die Argumentation, dass Untervarietäten der Form $D(f)$ in affinen Varietäten wieder affin sind - wie zu Beginn erwähnt.\(\endgroup\)


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LineareAlgebruh
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-28 22:07

Vielen Dank, ich habs jetzt geschnallt. Ich sollte vielleicht das Buch von Anfang an lesen, anstatt mittendrin reinzuschneien ;)


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LineareAlgebruh hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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