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Physik » Thermodynamik & Statistische Physik » Warum können wegabhängige Größen nicht als totales Differential dargestellt werden?
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Universität/Hochschule Warum können wegabhängige Größen nicht als totales Differential dargestellt werden?
Sambucus
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  Themenstart: 2021-09-28 22:11

Warum können wegabhängige Größen nicht als totales Differential dargestellt werden? Beispiel: 1. Hauptsatz der Thermodynamik: \(dU= \int \limits_{y_{12}} \delta W + \int \limits_{y_{12}} \delta Q\) Nun steht in meinem Skript, dass die Differentiale verschieden gekennzeichnet sind, um das tot. Differential und die einfachem Differentiale unterscheiden zu können, und dass nur wegunabhänige Größen (hier die innere Energie U) als totales Differential dargestellt werden können, warum?


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moep
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-29 11:54

Das ist quasi eine Konsequenz aus dem Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung in hoeheren Dimensionen. Fuer ein "totales Differential" $d f$ haengt ein Integral $\int_\gamma df = f(\gamma_\text{e}) - f(\gamma_\text{e})$ nur vom Anfangs- und Endpunkt, $\gamma_\text{a}$ und $\gamma_\text{e}$, ab, aber nicht von genauen Pfad zwischen diesen beiden Punkten. Die Notation, die ich hier gewaehlt habe, spiegelt die mathematische Natur von "totalen Differentialen" dar, denn diese sind quasi Ableitungen von einer Funktion $f$, die auf dem gesamten Phasenraum definiert ist. Das Integral der Ableitung ist dann einfach die Differenz der Funktionswerte am Rand des Integrationspfades. Im Gegensatz dazu gibt es auch "Differentiale", die ihr mit $\delta$ kennzeichnet, die nicht als eine Ableitung einer globalen Funktion geschrieben werden kann. Fuer diese haengt das Integral ueber einen Pfad im allgemeinen vom Pfad selbst ab. Wenn dich die genauere Mathematik interessiert, solltest du nach Differentialgeometrie und Differentialformen schauen. Gruss, moep


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FibreBundle
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-09-29 12:28

Das Thema interessiert mich auch. Differentialformen sind mir (ungefähr) bekannt. Ganz klar, wie das $\delta$ gemeint ist, weiß ich aber nicht. Das $df$ ist ja eine äußere Ableitung von der Form $f$. Was aber bedeutet $\delta f$ einer Form $f$?


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-09-29 12:33

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2021-09-29 12:28 - FibreBundle in Beitrag No. 2) Was aber bedeutet $\delta f$ einer Form $f$? \quoteoff Ich denke damit wird das Kodifferential gemeint sein. Es ist für eine $k$-Form gegeben durch $\delta:=(-1)^k\star\mathrm d\star$ mit dem Hodge-Stern $\star$. LG Nico\(\endgroup\)


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moep
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-09-29 13:11

Nein, ich glaube nicht, dass in diesem Fall $\delta$ irgendwas mit der mathematischen ueblichen Notation des Kodifferentials zu tun hat. Viel mehr geht es um die Unterscheidung zwischen einer exakten 1-Form $\omega = df$ mit einer Funktion (= 0-Form) $f$, und einer allgemeinen 1-form $\eta$ (evtl. geschlossenen, d.h. $d\eta = 0$, bin mir da aber gerade nicht ganz sicher ob es auf die Beispiele zutrifft), die sich nicht global als eine Ableitung einer 0-form schreibt. Insofern ist die in Physik beliebte Notation $\delta W$ fuer das letztere extrem ungeschickt, denn es suggeriert eine Funktion $W$ aus der man die 1-Form $\eta = \delta W$ durch irgendeine Ableitung bekommen kann. Dass es aber nicht komplett unsinnig ist, liegt daran, dass es physikalische Motivation (wie z.B. die verrichtete Arbeit) fuer eine Groesse wie $W$ oder $Q$ gibt, die sich mathematisch nicht so leicht ausdruecken laesst. Am besten ist es, sich Groessen wie $W$ oder $Q$ vorzustellen als Funktionen, die von einem Pfad $\gamma$ im Phasenraum abhaengen: per Definition ist es das Integral einer 1-Form $\delta W$ oder $\delta Q$ entlang $\gamma$. Diese 1-Formen nennt man dann "einfaches Differential" oder so. Bestimmte Groessen, wie z.B. $U$ koennte man auch so definieren, aber man stellt fest, dass sie fuer jeden Pfad nur von Anfangs- und Endpunkt abhaengen. In diesem Fall kann man die Pfadabhaengigkeit zu einer Punktabhaengigkeit vereinfachen, d.h., $U$ ist eine Funktion auf dem Phasenraum (und nicht auf dem Raum der Pfade im Phasenraum). In diesem Fall ist die 1-Form, dessen Integrale $U$ definieren, exakt (d.h., von der Form $dU$), und man nennt diese "totales Differential". Long story short: man versteht vieles in Physik besser wenn man Differentialgeometrie kann 😉


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FibreBundle
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-09-29 13:38

Danke für die Antworten. Ich stelle mir jetzt $\delta W$ und $\delta Q$ als nicht-exakte 1-Formen vor. Es gibt also keine $0$-Form $W'$ mit $dW'=\delta W$. @Sambucus: Hilft dir das?


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moep
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-09-29 13:41

\quoteon(2021-09-29 13:38 - FibreBundle in Beitrag No. 5) Es gibt also keine $0$-Form $W'$ mit $dW'=\delta W$. \quoteoff Genau so ist das.


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Sambucus
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-29 18:03

\quoteon(2021-09-29 13:38 - FibreBundle in Beitrag No. 5) @Sambucus: Hilft dir das? \quoteoff Ja, danke für die Antworten und zusätzlichen Fragen :) Ich habe sie aufmerksam gelesen, aber gemerkt, dass ich mich wohl mit Differentialgeometrie beschäftigen muss, um diese Randbemerkung im Skript verstehen zu können. \quoteon(2021-09-29 11:54 - moep in Beitrag No. 1) Das ist quasi eine Konsequenz aus dem Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung in hoeheren Dimensionen. Fuer ein "totales Differential" $d f$ haengt ein Integral $\int_\gamma df = f(\gamma_\text{e}) - f(\gamma_\text{e})$ nur vom Anfangs- und Endpunkt, $\gamma_\text{a}$ und $\gamma_\text{e}$, ab, aber nicht von genauen Pfad zwischen diesen beiden Punkten. Die Notation, die ich hier gewaehlt habe, spiegelt die mathematische Natur von "totalen Differentialen" dar, denn diese sind quasi Ableitungen von einer Funktion $f$, die auf dem gesamten Phasenraum definiert ist. Das Integral der Ableitung ist dann einfach die Differenz der Funktionswerte am Rand des Integrationspfades. Im Gegensatz dazu gibt es auch "Differentiale", die ihr mit $\delta$ kennzeichnet, die nicht als eine Ableitung einer globalen Funktion geschrieben werden kann. Fuer diese haengt das Integral ueber einen Pfad im allgemeinen vom Pfad selbst ab. Wenn dich die genauere Mathematik interessiert, solltest du nach Differentialgeometrie und Differentialformen schauen. Gruss, moep \quoteoff So kann ich es zumindest schon mal für mich einordnen :)


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jacha2
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-09-29 22:49

Salut, ohne die Diskussion vertiefen zu wollen, erhebt sich ... \quoteon(2021-09-29 13:11 - moep in Beitrag No. 4)...Insofern ist die in Physik beliebte Notation $\delta W$ fuer das letztere extrem ungeschickt, denn es suggeriert eine Funktion $W$ aus der man die 1-Form $\eta = \delta W$ durch irgendeine Ableitung bekommen kann. Dass es aber nicht komplett unsinnig ist, liegt daran, dass es physikalische Motivation (wie z.B. die verrichtete Arbeit) fuer eine Groesse wie $W$ oder $Q$ gibt, die sich mathematisch nicht so leicht ausdruecken laesst. ... \quoteoff ... für mich die Frage, was denn eine weniger ungeschickte Schreibweise oder Formulierung dieses und ähnlicher physikalischer Sachverhalte wäre (also daß die innere Energie $U(W,Q,...)$ unter der Prozeßführung eines geschlossenen "Systems" die Form eines Potentials annimmt, bei dem stets nur die Summe aus Wärmeübertrag, mechanischer Arbeit und anderer Austauschgrößen (Feldenergie, chem Potential, ...) eine Erhaltungsgröße ist). Adieu


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moep
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-09-30 20:30

[Vielleicht kann ja ein mod hier abspalten?] Okay, jede Schreibweise (sofern sie konsistent ist) kann sinnvoll sein, wenn man sie gut definiert und erklaert. Allerdings leite ich aus der Frage des Thread-Erstellers die gleiche Verwirrung ab, die ich damals in den Vorlesungen auch hatte. Man spricht in in beiden Faellen von "Differential von ...", was suggeriert, dass beide Differentiale eine Art Operator sei. Aber zumindest mir (und ich nehme an auch Sambucus) war lange nicht klar, inwiefern sich die Objekte, auf denen sie wirken, unterscheiden. Ein Hauptgrund ist, dass in Aufgaben und Beispielen zu Punkte im Phasendiagram die Werte von Energie / Arbeit / Waerme assoziiert, aber nie so richtig gesagt wird, dass, anders als bei Energie, die letzten beiden eben nicht Funktionen von diesen Punkten sind. Deshalb hatte ich lange die Vorstellung, dass es eine andere Art Differentiale zu bilden gibt fuer Funktionen, die durch d oder $\delta$ unterschieden wird. Eine Notation das zu vermeiden waere z.B. $w$ anstatt $\delta W$, $q$ anstatt $\delta Q$. Andererseits wird dadurch natuerlich die physikalische Intuition einer "infinitesimalen" Aenderung, die mit $\delta$ besser transportiert wird, verschleiert. Von daher gibt's da sicherlich auch persoenliche Praeferenzen, die in die Beurteilung eingehen, was nun eine bessere oder schlechtere Notation ist. In jedem Falle denke ich, dass, wie auch diese Diskussion hier verdeutlicht, den Stolperfallen von Notationen jeder Art, aber im speziellen von Differentialen, in den handelsueblichen Theorievorlesungen viel zu wenig Aufmerksamkeit geschenkt wird. Diese fuehren aber haeufig bei Studenten zu Verwirrungen, die die Dozenten mit all ihrer Erfahrung wiederum oft gar nicht mehr begreifen.


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zippy
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  Beitrag No.10, eingetragen 2021-09-30 20:53

\quoteon(2021-09-30 20:30 - moep in Beitrag No. 9) In jedem Falle denke ich, dass, wie auch diese Diskussion hier verdeutlicht, den Stolperfallen von Notationen jeder Art, aber im speziellen von Differentialen, in den handelsueblichen Theorievorlesungen viel zu wenig Aufmerksamkeit geschenkt wird. \quoteoff Eine positive Ausnahme in dieser Hinsicht ist das Thermodynamik-Buch von Norbert Straumann:


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