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Funktionentheorie » Integration » Komplexes Kurvenintegral 1/z
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Universität/Hochschule Komplexes Kurvenintegral 1/z
lalala0000
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  Themenstart: 2021-09-29

Hallo an alle! Die Altprüfungs-Aufgabe an der ich gerade tüftel würde lauten: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54047_Screenshot_641_.png Also an z=0 besitzt das ganze ja eine Singularität, deshalb würd bei geschl. Kurvenintegralen ja ein Residuum zu berechnen sein... Hier ist die Kurve aber eine Gerade, die nicht durch 0/0 verläuft, kann ich somit in ii) das ganze einfach mit Stammfunktion lösen (also wäre es somit dennoch noch Wegunabhängig)? Zu i) da würden mir zur Definition einerseits die Riemannsumme oder die Umparametrisierung : int(1/z,z,\gamma,):=int(z`/z,t,0,1) mit t\el\ [0,1] und t-> (1-t)+(1+i)t Hier kommen mir aber bei der Berechnung 2 reele Integrale raus mit Betrag von z jeweils im Nenner des Integranden und x`x+y`y im Zähler des Integranden des Realteils und im Zähler des Imaginärteils x`x-y`y... Nur weiter komm ich leider nicht... Wie könnte ich diese Integrale lösen? Bzw. ist das überhaupt der richtige Weg? Wäre für jeden Vorschlag dankbar...


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-29

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, du sollst eben das Integral über die Kurve $C$ berechnen. Da benötigt man keine Wegunabhängigkeit. Wenn du das Integral über eine Stammfunktion berechnen sollst, dann musst du nur darauf achten, dass die Kurve nicht die Singularität umrundet, was das Geradenstück offenbar nicht macht. Daher ist das Integral in einem geeigneten Gebiet, das deine Kurve umfasst, wegunabhängig. LG Nico [Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Funktionentheorie' von nzimme10]\(\endgroup\)


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lalala0000
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-29

Ok vielen lieben Dank, dann hab ich ii) verstanden! Bei i) bin ich aber dennoch noch am Zweifeln: Ich bin mir fast sicher, dass das ganze auf eine Umparametrisierung hinausläft: int(f(z(t))*z'(t),t,a,b) Ich hab das Integral dann auch durch umformen auf einen Realteil und einen Imaginärteil aufgespalten, nur scheint es mir nicht weiter lösbar: int((x*x'+y*y')/(x^2+y^2),t,0,1) + i int((-y*x'+x*y')/(x^2+y^2),t,0,1)


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-09-29

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Also das Geradenstück $C$ lässt sich durch $\gamma\colon[0,1]\to \mathbb C, \ \gamma(t)=1-t+t\cdot(1+\i)=1+\i t$ parametrisieren. Daher gilt $$ \int_C\frac 1z \d z=\int_0^1 \frac{1}{\gamma(t)}\gamma'(t) \d t=\int_0^1 \frac{\i}{1+\i t} \d t=\i \int_0^1 \frac{1}{1+\i t} \d t=\i \int_0^1 \frac{1-\i t}{1+t^2} \d t. $$ Nun verwende partielle Integration. Eine Aufteilung in Real- und Imaginärteil ist hier dann eigentlich unnötig. LG Nico\(\endgroup\)


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