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 Beweis, dass diese Funktion ein Mass ist |
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Strandkorb
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 |  Themenstart: 2021-10-02
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Hallo Zusammen
Ich habe folgende Aufgabe:
Seien \(A_1,A_2\) zwei \(\sigma\)-Algebren von Teilmengen \(\Omega_1,\Omega_2\). Sei \(f:\Omega_1\rightarrow \Omega_2\) eine Funktion so dass \(f^{-1}(A)\in A_1 \,\,\,\forall A\in A_2\). Sei \(\mu\) ein Mass auf \(A_1\). Zeigen Sie dass \(v(A)=\mu(f^{-1}(A))\) ein mass ist auf \(A_2\)
Nun bin ich am Punkt wo ich zeigen möchte dass \(v(\emptyset)=0\). Dafür genügt es ja aber zu zeigen dass \(f^{1}(\emptyset)=\emptyset\) ist. Irgendwie ist ja das schon klar, doch beim Beweis scheitert's leider kläglich...
Zuerst wollte ich es mit einem Widerspruch versuchen, doch das ging irgendwie nicht ganz.
Dann dachte ich, ich zeige es per Inklusion.
\(\emptyset \subset f^{-1}(\emptyset)\) ist ja klar. Nun wenn ich aber \(b\in f^{-1}(\emptyset)\in A_1\) wähle dann heisst ja das, dass $$f(b)\in \emptyset \Leftrightarrow f(b)=\emptyset \Leftrightarrow b=f^{-1}(\emptyset)$$
Irgendwie kommt mir dann das aber komisch vor.
Könnte mir da jemand weiterhelfen?
vielen Dank!
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| Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-02
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Hallo,
\quoteon
Irgendwie ist ja das schon klar, doch beim Beweis scheitert's leider kläglich...
\quoteoff
Das liegt vermutlich daran, dass du die Definition von einer Funktion nicht formell parat hast.
Eine Funktion ist linkstotal und rechtseindeutig.
Dabei heißt linkstotal, dass eine Funktion
$f: \Omega_1\to\Omega_2$ jedem Element aus dem Definitonsbereich (der linken Menge) ein Element zuordnet.
(Rechtseindeutigkeit wäre, dass einem Element aus dem Definitionsbereich nur genau ein Wert im Wertebereich zugeordnet wird. Also $f(1)=\pm 1$ macht natürlich keinen Sinn.)
Wäre nun $f^{-1}(\emptyset)$ nichtleer, dann heißt das ja gerade, dass es ein Element im Definitionsbereich gibt, welches kein Bild hat.
Das widerspricht aber gerade der Linkstotalität.
Das ist nicht damit zu verwechseln, dass es Elemente im Wertebereich (der rechten Menge) gibt, welche kein Urbild haben.
Soll heißen:
$f: \{1,2\}\to \{a,b\}$ mit $f(1)=f(2)=a$ ist eine Funktion, die nicht surjektiv ist, also $b$ hat kein Urbild, aber
$f: \{1,2\}\to\{a,b\}$ die $f(1)=a$ abbildet, wir aber vergessen auch die $2$ auf irgendwas abzubilden, ist natürlich keine Funktion.
Mit solchen pathologischen Beispielen hat man es aber natürlich normalerweise auch nicht zutun.
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-02
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Hallo
vielen Dank für deine Antwort, aber wenn ja \(f^{-1}(\emptyset)\neq \emptyset\) ist, heisst ja das, dass man mindestens ein element in \(\Omega_1\) findet das auf die leere Menge abbildet. Darf man das nur machen wenn der Definitionsbereich selbst auch die leere Menge ist?
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-02
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\quoteon
Darf man das nur machen wenn der Definitionsbereich selbst auch die leere Menge ist?
\quoteoff
Ja, die einzige sinnvolle Funktion $f: M\to\emptyset$ ist jene, wo $M=\emptyset$ ist.
Also $f:\emptyset\to\emptyset$, was etwas gewöhnungsbedürftig aussieht.
Linkstotalität sagt gerade, dass eine Funktion ein Element aus dem Definitionsbereich auf irgendetwas abbilden muss.
Wenn der Wertebereich aber leer ist, dann muss der Definitionsbereich notwendigerweise ebenfalls leer sein.
Denn sonst habe ich ja keine Möglichkeiten auf etwas abzubilden.
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| Beitrag No.4, eingetragen 2021-10-02
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Nachtrag:
\quoteon(2021-10-02 17:49 - Strandkorb in Beitrag No. 2)
wenn ja \(f^{-1}(\emptyset)\neq \emptyset\) ist, heisst ja das, dass man mindestens ein element in \(\Omega_1\) findet das auf die leere Menge abbildet.
\quoteoff
Das hier ist natürlich nicht so gut formuliert, aber so meinst du es auch nicht.
Wenn der Wertebereich zum Beispiel aus Mengen besteht, etwa
$f: M\to\mathcal{P}(M)$ (also eine Funktion die in die Potenzmenge von $M$ abbildet), dann kann es natürlich schon Elemente geben, welche auf die leere Menge geschickt werden.
Das Problem ist hier aber, dass Elemente auf gar nichts geschickt werden. Nicht einmal mehr der leeren Menge. :)
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|  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-02
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Aber wenn du sagst, dass (\f^{-1}(\emptyset)\) nichtleer ist, dass heisst doch das, dass man etwas findet, dass auf die leere Menge geschickt wird, also kein Bild via f hat. Und das geht ja per definition nocht, das heisst „ nichts wird auf nichts geschickt“ (unmathemstisch ausgedrückt) und daher ist das Urbild der leeren Menge leer. Stimmt das?
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| Beitrag No.6, eingetragen 2021-10-02
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\quoteon
wenn du sagst, dass \(f^{-1}(\emptyset)\) nichtleer ist, dass heisst doch das, dass man etwas findet, dass auf die leere Menge geschickt wird
\quoteoff
Vielleicht hätten wir direkt auf die Definition vom Urbild gehen sollen, denn
$f^{-1}(\emptyset)=\{x\in\Omega_1: f(x)\in\emptyset\}$.
Aber solche $f(x)$ gibt es ja nicht, weil die leere Menge ja keine Elemente hat. Also muss $f^{-1}(\emptyset)=\emptyset$ gelten.
Bemerke, dass sich die Definition $f(x)\in\emptyset$ liest, und nicht $f(x)=\emptyset$.
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