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Universität/Hochschule Approximation/Orthogonale Projektion im L²-Raum
lalala0000
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  Themenstart: 2021-10-03

Hallo an alle! Die Frage würd sich im Rahmen einer Klausurvorbereitung auf folgende Aufgabe beziehen: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54047_Screenshot_649_.png Also ich weiß, dass die beiden Seiten jeweils ein inneres Produkt im L2 darstellen. Somit wäre das innere Produkt von p(t) mit f(t) gleich der Norm zum Quadrat von p(t)... Nur leider steh ich ein wenig auf dem Schlauch, um welches Polynom es sich handeln könnt... Hab schon in Richtung Fourier gedacht, bzw. Fourierkoeffizienten, aber da wär das Innere Produkt ja zwischen den Orthonormalsystemvektoren und x gleich den Fourierkoeffizienten... Die Fourierkoeffizienten wären ja Teil des l2 Raums (quadratisch summierbare Funktionen)... Anderes würd mir jetzt nicht wirklich einfallen... Könnte mir jemand evtl. auf die Sprünge helfen? Vielen Dank und liebe Grüße


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lalala0000
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-04

Hm, ich vermute stark, dass es auf eine Fourierreihe hinausläuft, oder?


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lalala0000
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-05

Hätte evtl. irgendjemand einen Tipp? Seh da leider immer noch nicht ganz durch... Liebe Grüße


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Wally
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Mit Standardskalarprodukt und -Norm bedeutet das \( \|p-\frac{1}{2}f\|=\frac{1}{2}\|f\|\). Ich bin mir nicht ganz sicher, aber das einzige Polynom, dass diese Gleichung bestimmt erfüllt, ist das Nullpolynom. Die "offizielle" Antwort würde mich mal interessieren. Viele Grüße Wally Interessante Frage: Sei \( V\subseteq W\) dichter Teilraum, \( K\) eine Sphäre in \( W\), die den Nullpunkt enthält. Muss \( K\) einen weiteren Punkt von \( V\) enthalten? (Der Bauch sagt nein, das Hirn weiß gerade kein gutes Argument).\(\endgroup\)


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sonnenschein96
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-10-05

\quoteon(2021-10-05 17:52 - Wally in Beitrag No. 3) Interessante Frage: Sei \( V\subseteq W\) dichter Teilraum, \( K\) eine Sphäre in \( W\), die den Nullpunkt enthält. Muss \( K\) einen weiteren Punkt von \( V\) enthalten? (Der Bauch sagt nein, das Hirn weiß gerade kein gutes Argument). \quoteoff Ich hoffe, dass ich Dich richtig verstehe: Du willst wissen, ob für einen normierten VR \(W\), einen dichten Unterraum \(V\) und \(K=\partial B(x,\varepsilon)\) mit \(x\in W\) und \(\varepsilon>0\) mit \(0\in K\) gilt, dass \(V\cap K\neq\{0\}\)? Meine Antwort wäre ja: Da \(V\) dicht ist, gibt es ein \(y\in B(x,\varepsilon)\cap V\) (offene Kugel). Betrachten wir die Abbildung \(f\colon[1,\infty)\to\mathbb{R}\) definiert durch \(f(\lambda):=\|\lambda y-x\|\), so gilt \(f(1)=\|y-x\|<\varepsilon\) und \(f(\lambda)=\|\lambda y-x\|\geq\lambda\|y\|-\|x\|\to\infty\) für \(\lambda\to\infty\). Da \(f\) stetig ist, gibt es nach dem ZWS ein \(\lambda^*>1\) mit \(f(\lambda^*)=\varepsilon\), d.h. \(\|\lambda^*y-x\|=\varepsilon\), also \(\lambda^*y\in K\). Da \(y\in V\) ist und \(V\) ein Unterraum ist, folgt \(\lambda^*y\in V\). Wegen \(\|y-x\|<\varepsilon\) und \(\|0-x\|=\varepsilon\), ist \(y\neq0\) und damit auch \(\lambda^*y\neq0\). Wir haben also \(0\neq\lambda^*y\in V\cap K\).


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Wally
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Hallo sonnenschein96, vielen Dank. Super Idee, den Unterraum durch \( y\) zu betrachten. Der Bauch ist jetzt leise... Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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lalala0000
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-06

Leider gibts keine offizielle Lösung, aber die Tipps haben mir auf jeden Fall schon mal geholfen, vielen Dank! Werds morgen nochmals versuchen!


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lalala0000 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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