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| Autor |
  Durchschnittlicher Wert bei zweimaliger Münzziehung |
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Caban
Senior 
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 2787
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
 |  Themenstart: 2021-10-08
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Hallo
Ich habe Fragen zu dieser Aufgabe:
Aus einem Beutel mit zwölf 50-Cent-Münzen, fünf 1 Euro-Münzen und acht 2 Euro-Münzen werden zufällig zwei Münzen gezogen.
Welcher Geldbetrag wird man bei häufiger Versuchsdurchführung durchschnittlich herausziehen?
Ich würde so rechnen:
(X,1,1.5,2,2.5,3,4;P(X),132/600,120/600,20/600,192/600,80/600,56/600)
Als Erwartungswert erhalte ich 2.16 Euro.
Jemand anders kommt auf 1.41. Er hat aber z.B.: p(X=1.5)=5/25*12/24 gerechnet, ohne den Pfad zu doppeln, aber er ist doch zweimal da.
Was sagt ihr dazu?
Gruß Caban
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Tetris
Senior 
Dabei seit: 28.08.2006
Mitteilungen: 7804
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-08
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Ich bin für deine Version.
Lg, T.
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 2787
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-08
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Hallo Tetris,
danke, dann bin ich beruhigt. Bei der anderen Version wäre die Summe der Wahrscheinlichkeiten nicht 1, aber ganz sicher war ich mir nicht, ob ich richtig liege.
Gruß Caban
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Scynja
Senior
Dabei seit: 23.02.2011
Mitteilungen: 566
Wohnort: Deutschland
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-08
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Ich bin auch für deine Version. Man kann ja einfach die Geldsumme des Beutels berechnen und diese durch die Anzahl Münzen teilen (27/25 = 1,08). Der Erwartungswert nach einmal ziehen ist also bereits 1,08€. Die zweite Münze kann nicht <50ct sein. Also kann 1,41€ nicht stimmen.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
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Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-08
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Hallo Scynja,
danke für diese sehr gute Argument!
Gruß Caban
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sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 705
| Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-08
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Das ganze kann man denke ich mit der multivariaten hypergeometrischen Verteilung beschreiben. Mit der Notation von dort gilt \(n=2, k=3, B_1=12, B_2=5, B_3=8\) und damit \(N=B_1+B_2+B_3=25\). Der Geldbetrag wird beschrieben durch \(G=0.5X_1+X_2+2X_3\). Es gilt dann
\[E[G]=0.5E[X_1]+E[X_2]+2E[X_3]=0.5\frac{nB_1}{N}+\frac{nB_2}{N}+2\frac{nB_3}{N}=2.16.\]
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-08
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Hallo sonnenschein
Danke für die Bestätigung des Ergebnisses!
Gruß Caban
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
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Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-08
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Danke an alle Beteiligten!
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cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 2062
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
 | Beitrag No.8, eingetragen 2021-10-09
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\(E\:=\:\frac{27,00\,€}{25}\:+\:\frac{8}{25}\cdot\frac{25,00\,€}{24}\:+\:\frac{5}{25}\cdot\frac{26,00\,€}{24}\:+\:\frac{12}{25}\cdot\frac{26,50\,€}{24}\:=\) ...
... \(=\:\frac{24\,\cdot\,27,00\,€\:+\:8\,\cdot\,25,00\,€\:+\:5\,\cdot\,26,00\,€\:+\:12\,\cdot\,26,50\,€}{25\:\cdot\:24}\:=\) ...
... \(=\:\frac{648,00\,€\:+\:200,00\,€\:+\:130,00\,€\:+\:318,00\,€}{600}\:=\) ...
... \(=\:\frac{1.296,00\,€}{600}\:=\:2,16\:€\)
Bei zwei Ziehungen geht's ja noch flott.
Gleicher Beutel, aber 23[!] "Ziehungen":
Welchen mittleren Restbetrag kann man im Beutel erwarten?
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8195
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.9, eingetragen 2021-10-09
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Hallo,
mit der richtigen Erkenntnis ist die Aufgabe total einfach. Nix mit multivariater hypergeometrischer Verteilung und so.
\quoteon(2021-10-08 20:28 - Scynja in Beitrag No. 3)
Man kann ja einfach die Geldsumme des Beutels berechnen und diese durch die Anzahl Münzen teilen (27/25 = 1,08). Der Erwartungswert nach einmal ziehen ist also bereits 1,08€.
\quoteoff
Wenn also A der Wert der ersten Münze ist, ist also E(A) = 27/25. Dasselbe gilt für den Wert B der zweiten Münze.
Es ist E(A+B) = E(A) + E(B) = 2*27/25 = 54/25.
\quoteon(2021-10-09 06:23 - cramilu in Beitrag No. 8)
Gleicher Beutel, aber 23[!] "Ziehungen":
Welchen mittleren Restbetrag kann man im Beutel erwarten?
\quoteoff
Analog kann man nach 23 Ziehungen die Summe 23*27/25 erwarten. im Beutel verbleiben dann 27 - 23*27/25 = 2*27/25.
Fun Fact: Wenn 25 mal gezogen wird, verbleiben im Beutel 27 - 25*27/25 = 0. Das hätte man aber auch durch Zählen der Münzen heraus bekommen können.
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 2787
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-09
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Hallo cramilu
Danke für die Rechnung, sie entspricht in etwa meiner.
@ StrgAltEntf
Au die Idee mit den Mittelwert bin ich auch gekommen, aber da das Ziehen ohne Zurücklegen ist, habe ich das verworfen. Bei Ziehen mit Zurücklegen wäre das klar gewesen.
Gruß Caban
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2544
| Beitrag No.11, eingetragen 2021-10-09
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Huhu,
siehe hier #1 und #7.
Gruß,
Küstenkind
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
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Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-09
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Hallo Küstenkind
Sehr schöne Begründungen! Das hat mir sehr geholfen!
Gruß Caban
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Caban hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Caban hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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