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| Autor |
  Beweis symmetrische Differenz assoziativ |
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mathwave
Junior 
Dabei seit: 10.10.2021
Mitteilungen: 16
 |  Themenstart: 2021-10-10
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Guten Abend,
ich habe folgenden Beweis:
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55010_1_Screenshot_2.png
Ich komme soweit gut mit und verstehe die Umformungen. Aber was bedeutet "insgesamt folgt das Gewünschte"?
Gezeigt werden soll die Äquivalenz, wenn die Klammern vertauscht werden?
Die Schritte ab "Ingesamt also" verstehe ich nicht komplett. Was wird da eigentlich gemacht?
Dankeschön und Gruß
mathwave
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 Profil
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Triceratops
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6472
Wohnort: Berlin
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-11
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Es wurde zunächst nachgerechnet, dass
$A \Delta (B \Delta C) = (A \setminus B) \setminus C \cup (B \setminus A) \setminus C \cup (A \cap B \cap C) \cup (C \setminus B) \setminus A$
Die völlig analoge Rechnung im zweiten Teil führt zu
$A \Delta (B \Delta C) = (A \cap B \cap C) \cup (A \setminus B) \setminus C \cup (B \setminus C) \setminus A \cup (C \setminus B) \setminus A.$
Nun ist aber $\cup$ kommutativ, sodass man hier die Mengen einfach umtauschen kann und zum selben Ergebnis gelangt wie bei $(A \Delta B) \Delta C$ oben; dabei ist auch noch $ (B \setminus A) \setminus C = (B \setminus C) \setminus A$ zu beachten, weil beide Mengen mit $B \setminus (A \cup C)$ übereinstimmen.
Alternativen:
Recht anschaulich versteht man den Beweis, indem man sich ein Venn-Diagramm mit den drei Mengen aufmalt.
Und es gibt auch noch einen abstrakten Beweis: Die bijektive Abbildung $P(M) \to \mathrm{Abb}(M,\{0,1\})$, $A \mapsto \chi_A$ (charakteristische Funktion) erfüllt $\chi_{A \Delta B} = \chi_A + \chi_B$, wobei hier rechts die (punktweise) Addition modulo $2$ genommen wird; sie ist mit der Interpretation von $0$ als "falsch" und $1$ als "wahr" auch als XOR bekannt. Diese Addition ist sicherlich assoziativ. Und daraus folgt nun ganz formal die Assoziativität von $\Delta$. Es gilt nämlich
$\chi_{A \Delta (B \Delta C)} = \chi_A + \chi_{B \Delta C} = \chi_A + (\chi_B + \chi_C) = (\chi_A + \chi_B) + \chi_C = \chi_{A \Delta B} + \chi_C = \chi_{(A \Delta B) \Delta C}$
und daher $A \Delta (B \Delta C) = (A \Delta B) \Delta C$.
Das allgemeine Prinzip hier lautet: Wann immer man eine Menge mit gewissen Verknüpfungen hat, eine algebraische Struktur also, und eine dazu isomorphe algebraische Struktur, dann erfüllen ihre Verknüpfungen dieselben Gesetzmäßigkeiten.
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mathwave
Junior
Dabei seit: 10.10.2021
Mitteilungen: 16
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-11
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Triceratops, vielen vielen Dank!! Jetzt verstehe ich es😃
Gruß
mathwave
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