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 Nullmengen |
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dendi
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 13.10.2021
Mitteilungen: 22
 |  Themenstart: 2021-10-13
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Hallo zusammen
Ich stecke gerade bei einer Frage fest:
Ich soll zeigen, dass folgendes eine Nullmenge ist :
Die Menge der Zahlen in [0,1) deren Dezimalbruchdarstellung keine Ziffern 5 haben.
Kann ich das irgendwie mit den rationalen Zahlen vergleichen ? Denn ich weiss, dass die eine Nullmenge sind
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10689
Wohnort: Rosenfeld, BW
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-13
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo und willkommen hier im Forum!
Betrachte das ganze zunächst für abbrechende Dezimalbrüche der Länge \(n\). Sei \(X_n\) die Menge der Dezimalzahlen ohne 5 der Länge \(n\).
Versuche, \(\lambda(X_n)\) auszurechnen und lasse dann \(n\to\infty\) gehen.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Maßtheorie' von Diophant]\(\endgroup\)
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dendi
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 13.10.2021
Mitteilungen: 22
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-13
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Hey Diophant! Vielen Dank für die Antwort
Hmm.. also ich weiss, dass wenn ich einen einzelnen Punkt habe bzw eine einzelnen Dezimalbruch, Dann ist dieser eine Nullmenge , wenn ich eine unendliche Vereinigung von Nullmengen habe, ist dies wieder eine Nullmenge?
Meinst du das so in die Richtung?
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10689
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-13
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Hallo,
nein, ich meinte das etwas anders. Ich habe es allerdings vorhin ziemlich schlecht formuliert.
Sei also \(X_n\) die Menge aller Zahlen aus \([0,1)\), die bis zur n. Stelle keine 5 in ihrer Dezimalbruchentwicklung stehen haben.
Fangen wir einmal mit der Menge \(X_1=\left[0,0.5\right)\cup\left[0.6,1\right)\) an. Deren Maß ist offensichtlich \(\lambda(X_1)=0.9\).
Jetzt versuche einmal, das Maß von \(X_n\) in Abhängigkeit von \(n\) herauszufinden. Das ist eigentlich recht naheliegend...
Der Vergleich mit den rationalen Zahlen hinkt hier m.A. schon aus dem Grund, weil diese abzählbar sind, die Menge der Zahlen mit mindestens einer 5 aber überabzählbar. Zumindest, wenn mich da meine Erinnerung und meine Intuition nicht täuschen...
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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dendi
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 13.10.2021
Mitteilungen: 22
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-13
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Lieber Diophant!
Vielen Dank für die Erklärung! Ich sehe nun wie es geht.
LG dendi
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dendi
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 13.10.2021
Mitteilungen: 22
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-13
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Ich habs
sum(9^(n-1)/10^n,n=1,\inf ) ist die Reihe welche gege 1 konvergiert und die Menge der Dezimalzahlen beschreibt, welche weggelassen werden
Heisst \lambda(X_n) wenn n ->\inf geht = \lambda(1- sum(9^(n-1)/10^n,n=1,\inf )) = \lambda(1-1) = 0
Stimmt das so?
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10689
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.6, eingetragen 2021-10-13
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Hallo,
nein, du brauchst keine Reihe. Schreibe vielleicht einmal die Menge \(X_2\) explizit hin, um \(\lambda(X_2)\) zu bestimmen. Damit solltest du sehen, auf was es hinausläuft.
Der Grenzwert von \(\lambda(X_n)\) für \(n\to\infty\) ist Null, und das war es dann auch schon.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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