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Mathematik » Geometrie » Graph einer Kurve
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Universität/Hochschule J Graph einer Kurve
Math_user
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  Themenstart: 2021-10-15

Abend zusammen, Ich stecke bei gerade in der Differentialgeometrie fest und komme hier nicht weiter, beziehungsweise brauche ein wenig Hilfe: Sei $c: [0,1] \to \Bbb R^n$ eine glatte Funktion. Ich möchte zeigen, dass die Menge $$A=\{(x,y) \in \Bbb R^2 \;|\; x = c(y),\, y \in [0,1]\}$$ das Bild einer injektiven und regulären Kurve ist. Mein Ansatz: Da nun $[0,1]$ kompakt ist und $c$ glatt ist, also insbesondere stetig, folgt, dass $c$ injektiv ist. FALSCH, geht gar nicht, da $c$ nicht unbedingt streng monoton ist... Aber gehe ich dann vor? Für die Regularität betrachten wir folgendes: Definition: Eine Kurve $c: I \to \Bbb R^n$ heisst regulär, wenn für alle $t \in I$ gilt, dass $c'(t)\neq 0$. Nun folgt aber, da $c$ glatt ist, dass seine Ableitung definiert ist und somit: $$c'(t)=(c'(t),1) \neq (0,0)$$ Stimmen diese "einfache" Überlegungen oder übersehe ich etwas? Gute Nacht, Math_user


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easymathematics
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-15

Schönen Abend :) sei so lieb und gib bitte die komplette Aufgabenstellung hier an. Du fängst mit "Sei c eine glatte Funktion" an. Du gibst eine Menge A an und sprichst von "Bild einer Kurve". Welche Kurve? Ferner taucht ein f auf. Von f sind keine Eigenschaften bekannt. Welcher Zusammenhang besteht zwischen c und f? Und redest von "Zeige Injektivität", redest im Beweis aber von "Stetigkeit".


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Math_user
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-15

Vielen Dank easymathematics Für deine Antwort. Tut mir leid, bin gewohnt für Funktion $f$ zu verwenden... Ich habe meinen Post korrigiert... Aber ich stecke schon bei der Injektivität fest, wie kann man diese zeigen? Habe festgestellt, dass $c$ nicht unbedingt strickt monoton ist und somit mein Argument gar nicht funktioniert...


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-16

\quoteon(2021-10-15 23:53 - Math_user in Beitrag No. 2) Ich habe meinen Post korrigiert... \quoteoff Du hast ihn verschlimmbessert, indem du jetzt zwei unterschiedliche Dinge mit $c$ bezeichnest: 1. Die Funktion $[0,1]\to\mathbb R$, deren Graph $A$ ist. 2. Die Kurve $[0,1]\to\mathbb R^2$, deren Bild $A$ ist. \quoteon(2021-10-15 23:53 - Math_user in Beitrag No. 2) Habe festgestellt, dass $c$ nicht unbedingt strickt monoton ist und somit mein Argument gar nicht funktioniert... \quoteoff Das ist nur eine Folge der Bezeichnungsverwirrung. Injektiv muss die Kurve sein, nicht die Funktion. --zippy


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Math_user
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-16

Vielen Dank zippy für den Hinweis. Es sollte natürlich letzteres sein - das Bild der Kurve.... Jedoch stecke ich immer noch bei der Injektivität fest. Hast du mir einen Anhaltspunkt?


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zippy
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-16

\quoteon(2021-10-16 01:08 - Math_user in Beitrag No. 4) Jedoch stecke ich immer noch bei der Injektivität fest. Hast du mir einen Anhaltspunkt? \quoteoff Ich nenne die Funktion mal $f$ und die Kurve $c$. Es ist $c(y)=\bigl(f(y),y\bigr)$. Aus $c(y_1)=c(y_2)$ bzw. $\bigl(f(y_1),y_1\bigr)=\bigl(f(y_2),y_2\bigr)$ folgt $y_1=y_2$. Also ist $c$ injektiv.


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Math_user
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-17

Hallo zippy, Entschuldige antworte ich so spät. Viele Dank für die Ausführung - keine Ahnung, weshalb ich dies nicht sofort sah... Ich wünsche dir einen erholsamen Sonntag. Math_user


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