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  Relation untersuchen |
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mathwave
Junior 
Dabei seit: 10.10.2021
Mitteilungen: 16
 |  Themenstart: 2021-10-16
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Hallo,
ich habe folgende Relation auf \(\mathbb{R}^2\) und soll überprüfen, ob sie eine Äquivalenzrelation, partielle oder vollständige Ordnung ist. (Die Begriffe sind mir alle klar.)
\[R=\{(a,b):a_1 \leq b_1 \wedge a_2\geq b_2\}\]
Beweis, dass \(R\) reflexiv ist:
\[\forall a \in \mathbb{R}^2:(a,a)\in R \Rightarrow a_1 \leq a_1 \wedge a_2\geq a_2 \]
Beweis, dass \(R\) antisymmetrisch ist:
\[\forall a,b \in \mathbb{R}^2:(a,b)\in R \Rightarrow (b,a)\in R \\
(a,b): a_1 \leq b_1 \wedge a_2\geq b_2 \qquad (b,a): b_1 \leq a_1 \wedge b_2\geq a_2 \\
\Rightarrow a=b \]
Beweis, dass \(R\) transitiv ist:
\[\forall a,b,c\in \mathbb{R}^2:(a,b)\in R \wedge (b,c)\in R \Rightarrow (a,c)\in R \\
(a_1 \leq b_1 \wedge a_2\geq b_2) \wedge (b_1 \leq c_1 \wedge b_2\geq c_2) \\
\Rightarrow a_1\leq c_1 \wedge a_2 \geq c_2 \\
\Rightarrow a_1 \leq b_1 \leq c_1 \wedge a_2 \geq b_2 \geq c_2 \\
\Rightarrow (a,c) \in R \]
Ich bin mir jetzt nicht sicher, ob die drei Beweise "fertig" sind🤔 Beweisen tue ich jetzt seit ca. einer Woche :)
Die Definition einer vollständigen Relation habe ich theoretisch schon verstanden, weiß aber irgendwie nicht, wie ich jetzt den Beweis machen soll.
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55010_Screenshot_2021-10-16_161102.png
Danke!
Gruß
mathwave
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10686
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-16
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Hallo mathwave,
der Beweis der ersten drei Eigenschaften (also der Nachweis, dass es sich um eine Halbordnung handelt), sieht doch gut aus!
Tipp zur Totalordnung: du sollst ja nur daraufhin prüfen. Versuche einmal, ein Gegenbeispiel zu finden.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Logik, Mengen & Beweistechnik' in Forum 'Relationen und Abbildungen' von Diophant]
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10686
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.2, eingetragen 2021-10-16
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Nachtrag:
Sorry, ich hatte vorhin etwas übersehen. Reflexivität ist hier zwar gegeben, aber dein Nachweis passt nicht.
Du argumentierst so, dass es nur für Paare mit zwei gleichen Elementen gilt.
Zeige also \((a,b)R(a,b)\).
Gruß, Diophant \(\endgroup\)
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mathwave
Junior 
Dabei seit: 10.10.2021
Mitteilungen: 16
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-16
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Hallo Diophant,
kein Problem :)
Ich bin mir nicht sicher, wie du das meinst. Weil als Definition habe ich
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55010_Screenshot_2021-10-16_165218.png
Ich dachte, ich habe nur dahin eingesetzt?
Gruß
mathwave
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10686
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.4, eingetragen 2021-10-16
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
deine Elemente sind aber hier Paare \((a,b)\). In der Abbildung betrachtet man keine Tupel, sondern einzelne Werte.
Das ist offensichtlich so gemeint: \((a,a)\in R\iff aRa\) und eben nicht \((a,a)R(a,a)\).
Gruß, Diophant
\(\endgroup\)
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mathwave
Junior
Dabei seit: 10.10.2021
Mitteilungen: 16
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-16
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Hallo,
d.h. der Ansatz wäre
\[\forall a,b \in \mathbb{R}^2:(a,b)\in R \Rightarrow a_1 \leq b_1 \wedge a_2\geq b_2.\]
Aber das wäre genau die Angabe, was kann ich da zeigen?
Sorry, ich bin jetzt ein bisschen verwirrt.
Gruß
mathwave
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tactac
Senior
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2800
 | Beitrag No.6, eingetragen 2021-10-16
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Dein Beweis der Reflexivität in #0 ist fast in Ordnung, abgesehen davon, dass er vielleicht etwas knapp ist und eigentlich nur nennt, was zu zeigen ist, und das auch noch ein wenig falsch.
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10686
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.7, eingetragen 2021-10-16
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Hallo mathwave,
ja, du hast natürlich recht (und tactac auch). Mein (Lese-)Fehler, sorry!
Gruß, Diophant
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mathwave
Junior
Dabei seit: 10.10.2021
Mitteilungen: 16
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-16
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Hallo,
\quoteon(2021-10-16 17:24 - tactac in Beitrag No. 6)
Dein Beweis der Reflexivität in #0 ist fast in Ordnung, abgesehen davon, dass er vielleicht etwas knapp ist und eigentlich nur nennt, was zu zeigen ist, und das auch noch ein wenig falsch.
\quoteoff
Mein Problem ist, ich habe nur in die Definition eingesetzt. Beide Teile von \(a_1 \leq a_1 \wedge a_2\geq a_2\) sind ja immer wahr. Kann man das noch irgendwie anschreiben, damit der Beweis ordentlich und fertig aussieht?
Gruß
mathwave
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tactac
Senior
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2800
| Beitrag No.9, eingetragen 2021-10-16
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"Zu zeigen ist [bla], und das ist offensichtlich immer erfüllt." ist jedenfalls schon eher ein Beweis als "[bla]".
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mathwave
Junior
Dabei seit: 10.10.2021
Mitteilungen: 16
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-16
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Hallo,
vielen Dank für eure Hilfe!
Ich habe noch Verständnisprobleme bei der Eigenschaft "vollständig".
Wenn ich zwei Aussagen A und B habe, und diese mit \(\vee\) verknüpft sind, so muss ja immer mind. 1 wahr sein, dann ist die Verknüpfung auch wahr. Aber es kann ja nicht stimmen, dass die Vollständigkeit immer gilt?
Gruß
mathwave
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tactac
Senior
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2800
| Beitrag No.11, eingetragen 2021-10-16
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Die Relation $R$, die du in #0 angegeben hast, ist eben nicht "vollständig" (eine verbreitetere Vokabel dafür ist übrigens "total").
Darum hat Diophant dir nahegelegt, ein Gegenbeispiel zu finden, also zwei Paare $a,b$ reeller Zahlen, für die weder $(a,b) \in R$ noch $(b,a) \in R$ gilt.\(\endgroup\)
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mathwave
Junior
Dabei seit: 10.10.2021
Mitteilungen: 16
| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-17
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Guten Morgen,
ich hatte den kompletten Denkfehler beim Suchen des Gegenbeispiels.
Jetzt ist es mir jedenfalls klar, ich habe \(\Big( \left( 1,2 \right),\left( 0,1 \right) \Big)\) als Gegenbeispiel.
Vielen vielen Dank für eure Hilfe!
Gruß
mathwave
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