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  Vervollständigung immer messbar? |
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dendi
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 13.10.2021
Mitteilungen: 22
 |  Themenstart: 2021-10-20
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Hallo zusammen,
Ich habe eine Frage (Wer hätte das gedacht)
Angenommen es seien (\Omega_1 ,A_1 ,\mue_1) und (\Omega_2 ,A_2 ,\mue_2) Messräume und f: \Omega_1 -> \Omega_2 eine (A_1 ,A_2)-messbare Abbildung , A^-_1 und A^-_2 bezeichnen die Vervollständigungen von \sigma-Algebren A_1 und A_2.
Soweit so gut, aber ist dann jetzt die Abbildung f auch immer gleich (A^-_1 ,A^-_2)-messbar? Wenn ja wieso ?
und könnte mir vielleicht jemand ein kleines Beispiel dazu geben wo die Bedinnungen herschen, damit ich mir das vorstellen kann ? Ich finde es immer so extrem schwierig aus dem Formellen raus ein richtiges Beispiel zu finden. Meistens scheint auch das Formelle danach viel klarer als vorher..
Vielen Dank schonmal für die Hilfe
LG Dendi
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 Profil
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2242
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-20
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Hallo,
nein das stimmt im Allgemeinen nicht. Ein (nicht so triviales) Gegenbeispiel:
Es sei $c\colon [0,1]\to[0,1]$ die Cantor Funktion und $f\colon [0,1]\to[0,2], \ f(x)=c(x)+x$. Man kann sich überlegen, dass $f$ eine stetige monoton wachsende bijektive Abbildung ist und ihre Umkehrung $g=f^{-1}\colon [0,2]\to[0,1]$ daher stetig ist.
$g$ ist $(\mathcal B,\mathcal B)$-messbar ($g$ ist stetig!), aber nicht $(\mathcal L,\mathcal L)$-messbar.
Um letzteres einzusehen sei $C$ die Cantor-Menge. Dann hat man $\lambda(f(C))=1$ und folglich gibt es ein nicht Lebesgue-messbares $A\subseteq f(C)$. Umgekehrt ist $B:=g(A)\subseteq C$ und es gilt $\lambda(C)=0$. Da $\mathcal L$ vollständig ist, ist $B$ Lebesgue-messbar mit $\lambda(B)=0$. Daher ist nun aber offenbar $g^{-1}(B)=A$ nicht Lebesgue-messbar und es folgt die Behauptung.
Eine Bemerkung: Bei $(\Omega, \mathcal A, \mu)$ spricht man typischerweise von einem Maßraum. Ein Messraum wäre lediglich ein Paar bestehend aus einer Menge und einer $\sigma$-Algebra auf dieser Menge (also ohne ein Maß).
LG Nico\(\endgroup\)
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dendi
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 13.10.2021
Mitteilungen: 22
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-20
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Hey Nico,
vielen Dank für deine Hilfe!
Es scheint mir jetzt schon ein wenig klarer !
Eigentlich wollte ich auch Massraum schreiben, sorry :D
Noch eine zusätzliche Frage: Gibt es eine "Voraussetzung" die implizieren könnte,dass die Abbildung unter der Bedinnung immer (A^- _1 , A^- _2) messbar ist ?
Liebe Grüsse Dendi
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2242
Wohnort: Köln
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-20
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Eine triviale Anforderung wäre, dass die $\sigma$-Algebren (genauer: die Maßräume) bereits vollständig sind. Ansonsten fällt mir da aber auf die schnelle nichts ein. Vielleicht fällt ja einer anderen Person etwas ein.
LG Nico\(\endgroup\)
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dendi
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 13.10.2021
Mitteilungen: 22
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-21
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Lieber Nico,
Vielen lieben Dank für deine Mühe!
Ich werde da nochmals über die Bücher gehen
LG
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2242
Wohnort: Köln
| Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-21
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Hallo,
an dieser Stelle ist vielleicht noch folgende Anmerkung angebracht:
Es ist natürlich völlig unproblematisch, wenn man im Definitionsbereich weitere Mengen hinzunimmt. Sprich: Ist $f$ $(\mathcal A_1,\mathcal A_2)$-messbar, so ist $f$ natürlich auch $(\overline{\mathcal A_1},\mathcal A_2)$- messbar. Problematisch wird es, wenn man zu $\mathcal A_2$ weitere Mengen hinzufügt, da diese von $f^{-1}$ (wie obiges Beispiel zeigt) auf alle möglichen Mengen abgebildet werden können.
LG Nico
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Maßtheorie' von nzimme10]\(\endgroup\)
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dendi hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
dendi hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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