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 Einfacher Beweis Vereinigung |
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dorfschmied
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 03.01.2021
Mitteilungen: 52
 |  Themenstart: 2021-10-20
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Hallo, ich habe mich hier an einem Beweis versucht und habe die Frage ob das so in Ordnung ist was ich hier getan habe ?
$(X \cup Y) \backslash Z=(x \backslash Z) \cup(Y \mid Z)$
$\Leftrightarrow$
(1) $M:=(X \cup Y):=\{m \mid m \in X \vee m \in Y\}$
$(M \backslash Z)=\{m \mid m \in M \wedge m \notin Z\}$
$(2)$
$N:=(X \backslash Z):=\left\{n \mid n \in X \wedge n \notin Z\right\}$
$0:=(Y \backslash Z):=\{o \mid o \in Y \wedge o \notin Z\}$
$$
\text { (3) } P:(N \cup O)=\{p \mid p \in N \vee \rho \in O\}
$$
$$
M \Leftrightarrow P
$$
LG
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10686
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-20
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
ich verstehe hier nicht so ganz, was du bis hierher eigentlich machst. Bewiesen ist jedenfalls noch nichts, falls das deine Frage war.
Ich würde da nicht so umständlich neue Mengen einführen. Wenn ich mich nicht vertue, kann man das hier in zwei Schritten direkt zeigen, indem man
- \(A\setminus B=A\cap B^c\)
- sowie das Distributivgesetz \((A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)\)
benutzt.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Logik, Mengen & Beweistechnik' in Forum 'Mengenlehre' von Diophant]\(\endgroup\)
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dorfschmied
Wenig Aktiv
Dabei seit: 03.01.2021
Mitteilungen: 52
|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-20
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Ich versuche diese Äquivalenz zu beweisen,
$(A \cup B) \backslash C=(A \backslash C) \cup(B \backslash C)$
hier greift das Distributivgesetz meines Wissens nach nicht. Ich habe also versucht aufzuzeigen, dass die Menge die letztendlich auf der linken Seite entsteht per Definition äquivalent zu der rechts entstehenden Menge ist.
LG
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10686
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-20
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\quoteon(2021-10-20 18:41 - dorfschmied in Beitrag No. 2)
Ich versuche diese Äquivalenz zu beweisen,
$(A \cup B) \backslash C=(A \backslash C) \cup(B \backslash C)$
\quoteoff
Das ist mir schon klar.
\quoteon(2021-10-20 18:41 - dorfschmied in Beitrag No. 2)
hier greift das Distributivgesetz meines Wissens nach nicht.
\quoteoff
Mein Tipp besteht auch nicht allein aus dem Distributivgesetz, sondern aus zwei Schritten. Wenn man die beide in der geeigneten Reihenfolge anwendet, dann ist es wie gesagt eine einfache Rechnung.
Fange also so an:
\[(X\cup Y)\setminus Z=(X\cup Y)\cap Z^c=\dotsc\]
Jetzt schreit die Sache doch nach dem Distributivgesetz. 😉
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4638
 | Beitrag No.4, eingetragen 2021-10-20
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\quoteon(2021-10-20 18:52 - Diophant in Beitrag No. 3)
Fange also so an:
\[(X\cup Y)\setminus Z=(X\cup Y)\cap Z^c=\dotsc\]
\quoteoff
Vorher sollte man definieren, was genau $Z^c$ hier eigentlich sein soll. Üblichweise verwendet man diese Bezeichnung nur, wenn alle beteiligten Mengen in einer gemeinsamen Grundmenge liegen. Das ist hier aber nicht der Fall.
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tactac
Senior
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2800
 | Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-21
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Randbemerkung: Ein schöner Beweis ergibt sich mit dem, was manchmal als ein "Prinzip der indirekten Gleichheit" bekannt ist:
* $(\forall X.\, A \subseteq X \Leftrightarrow B \subseteq X) \implies A = B$.
Zusammen mit den passenden Definitionen/Charakterisierungen von $\cup$ und $\setminus$, also:
* Für alle $A,B,X$: $A \cup B \subseteq X \iff A \subseteq X \land B \subseteq X$.
* Für alle $A,B,X$: $A \setminus B \subseteq X \iff A \subseteq B \cup X$.
Liegt die Hauptlast des Beweises in ein wenig Hin- und Hergeschiebe wie auf einem Rangierbahnhof.\(\endgroup\)
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