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Mathematik » Numerik & Optimierung » Extremwertbestimmung Funktion mit Norm
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Universität/Hochschule Extremwertbestimmung Funktion mit Norm
DanielB
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 15.12.2020
Mitteilungen: 5
  Themenstart: 2021-10-21

Guten Abend, ich stoße gerade auf ein Problem und finde meinen/meine Fehler nicht, könntet ihr mal einen Blick auf meine Ableitungen werfen? Problem: Gegeben ist ein Vektor $y \in \mathbb{R}^m$, eine Matrix $X \in \mathbb{R}^{mxn}$ und $\lambda \in \mathbb{R}$, gesucht ist $\beta \in \mathbb{R}^n$, so dass $\| y-X \beta \|^2 + \lambda\| \beta\|^2$ minimal ist. Also erstmal die 1. Ableitung $0$ setzen. Ich leite beide Teile einzeln ab: $\frac{\partial}{\partial \beta} \lambda\| \beta\|^2 = 2\lambda \cdot \| \beta\| \cdot \frac{\beta}{\| \beta\|} = 2\lambda \cdot \beta$ $\frac{\partial}{\partial \beta} \| y-X \beta \|^2 = 2 \cdot \frac{\partial}{\partial \beta} \| y-X \beta \| = 2 \cdot \frac{1}{2\| y-X \beta \|} \cdot \frac{\partial}{\partial \beta} \sum_{i=0}^{n} (y_i-X \beta)^2 = 2 \cdot \frac{1}{2\| y-X \beta \|} \cdot 2 \cdot \sum_{i=0}^{n} {y_i-X \beta} \cdot X = \frac{1}{\| y-X \beta \|} \cdot 2 \cdot (y-X \beta) \cdot X$ Also: $\frac{\partial}{\partial \beta} \| y-X \beta \|^2 + \lambda\| \beta\|^2 = \frac{1}{\| y-X \beta \|} \cdot 2 \cdot (y-X \beta) \cdot X + 2\lambda \cdot \beta$ Nur wie soll man denn hier "elegant" die Extrempunkte berechnen? Es wirkt als hätte ich große Fehler in der Ableitung. VG Daniel


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
zippy
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Mitteilungen: 2926
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-22

\quoteon(2021-10-21 20:17 - DanielB im Themenstart) Es wirkt als hätte ich große Fehler in der Ableitung. \quoteoff So ist es: Du wendest die Kettenregel falsch an und verwendest sinnlose Summen aus Zahlen und Vektoren wie $y_i-X \beta$. Du kommst hier übrigens auch ganz ohne Ableitungsregeln aus, indem du einfach $\lambda\|\beta+h\|^2$ und $\|y-X(\beta+h)\|^2$ ausmultiplizierst. Die in $h$ linearen Terme liefern dann die Ableitung. --zippy


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