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  Rouché und einfache Nullstellen |
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nitram999
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Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 419
Wohnort: Würzburg
 |  Themenstart: 2021-10-22
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Hallo, ich sitze an folgender Aufgabe:
Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen von f(z)=exp(z)+3z^4 in \ID und zeigen Sie, dass alle Nullstellen von f einfach sind.
Begründen Sie, warum in \ID\cut\ {z\el\ \IC ||| Im(z)>0} genau 2 Nullstellen liegen!
Also f ist ja eine ganze Funktion, d.h. man kann ohne Probleme Rouché anwenden für den Einheitskreisrand (mit den Funktionen f(z) und g(z)=3z^4).
Mit Rouché habe ich also bereits gezeigt, dass f(z) im Einheitskreis 4 Nullstellen hat.
Meine Frage ist nun, wie zeigt man, dass diese einfach sind, weil man kennt die Nullstellen ja nicht?
Und warum liegen genau 2 der Nullstellen in der oberen offenen Halbebene?
Vielen Dank schon einmal für die Hilfe!
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2080
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-22
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
wenn es eine Nullstelle $z_0\in \mathbb D$ der Ordnung $\geq 2$ von $f$ gäbe, so wäre ja $f(z_0)=f'(z_0)=0$. Es wäre dann also insbesondere
$$
\exp(z_0)+3z_0^4=\exp(z_0)+12z_0^3 \ \Longleftrightarrow \ z_0^3(3z_0-12)=0.
$$
Aus der rechten Seite folgt dann aber $z_0=0$ oder $z_0=4$. Letzteres liegt nicht in $\mathbb D$ und ersteres wäre keine Nullstelle von $f$. Folglich müssen alle Nullstellen von $f$ einfach sein.
LG Nico
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Funktionentheorie' von nzimme10]\(\endgroup\)
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nitram999
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Wohnort: Würzburg
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-22
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Vielen Dank für die Antwort Nico! Deine Begründung ist sehr verständlich.
Woher weiß ich aber, dass genau 2 der Nullstellen einen Imaginärteil >0 haben?
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nitram999
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Dabei seit: 11.02.2019
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Wohnort: Würzburg
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-22
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Vielleicht kann man irgendwie so argumentieren, dass die Nullstellen nicht reell sind (warum genau?). Und dann müssten die Nullstellen doch auf einer Kreislinie mit gleichen Winkelabständen liegen, sodass dann daher 2 über der reellen Achse sind und 2 darunter.
Ich weiß nur nicht, wie man das formal aufschreibt, bzw. wie man es genau zeigt.
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Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9683
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.4, eingetragen 2021-10-22
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo,
was ist denn \( f(\overline{z})\) ?
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
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nitram999
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-22
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Hallo Wally,
danke für die Antwort! Meinst du die Regel:
f(z^-)=f(z)^-
Das heißt, wenn z_0 eine Nullstelle von f ist, dann gilt f(z_0)=0 und somit folgt f((z_0)^-)=f(z_0)^-=0^-=0. Das heißt, wenn z_0 eine Nullstelle von f ist, dann ist auch (z_0)^- eine Nullstelle von f.
Jetzt muss man nur noch wissen, warum es keine reellen Nullstellen gibt.
Weil wenn dies der Fall ist, dann liegen die Nullstellen ja jeweils "gespiegelt" an der reellen Achse im Einheitskreis. Also liegen je 2 Nullstellen oberhalb und 2 unterhalb der reellen Achse.
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Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9683
Wohnort: Dortmund, Old Europe
| Beitrag No.6, eingetragen 2021-10-22
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Ach komm...
warum hat e^x+x^4 keine Nullstelle? Das weißt du eigentlich...
Viele Grüße
Wally
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nitram999
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Wohnort: Würzburg
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-22
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Hallo Wally,
Es gilt ja Folgendes:
f(z)=0
<=>exp(z)+3z^4=0
<=>exp(z)=-3z^4
<=>ln(exp(z))=ln(-3z^4)
<=>z=ln(-3z^4)
Dies ist aber für kein z\el\ \IR erfüllt, also hat f keine reellen Nullstellen.
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Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
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| Beitrag No.8, eingetragen 2021-10-22
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Ja, oder "die Summe einer nichtnegativen und eine positiven Funktion ist positiv".
Viele Grüße
Wally
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nitram999
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Wohnort: Würzburg
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-22
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Ah stimmt, danke. Ja ich hab da nach irgendeinem schönen Satz gesucht, ohne stur zu rechnen.
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2556
| Beitrag No.10, eingetragen 2021-10-23
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Huhu,
ein schöner Satz ist ja dieser:
https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarz_reflection_principle
Dein \(f\) nimmt auf der reellen Achse offensichtlich nur reelle Werte an. Zudem ist \(f\) holomorph in der oberen Einheitskreisebene und der ganze Einheitskreis symmetrisch zur reellen Achse. Es gilt somit \(\overline{f(z)}=f(\overline{z})\) für alle \(z\) aus deinem Gebiet nach dem Schwarzschen Spiegelungsprinzip.
Gruß,
Küstenkind
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nitram999
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-23
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